Задача №19725

Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD\text{.}$ Точка $N$ — середина стороны $CD\text{.}$ Докажите, что $AN$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ $CD=2AD\text{,}$ точка $N$ — середина стороны $CD\text{.}$

Доказать: $AN$ — биссектриса угла $BAD\text{,}$ то есть $\angle BAN=\angle NAD\text{.}$

Решение.

1) Так как $N$ — середина $CD\text{,}$ то $DN=\frac{CD}{2}\text{.}$ По условию $CD=2AD\text{,}$ поэтому

Значит, треугольник $ADN$ равнобедренный с основанием $AN$ ($AD=DN$).

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

3) В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $AB\parallel CD\text{.}$ Прямая $AN$ — секущая для этих параллельных прямых. Углы $\angle BAN$ и $\angle DNA$ — накрест лежащие (вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AN$), поэтому

4) Из пунктов 2 и 3 получаем

Луч $AN$ проходит внутри угла $BAD$ и делит его на два равных угла $\angle BAN$ и $\angle NAD\text{,}$ следовательно, $AN$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$

Ответ: доказано, что $AN$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$