Задача №19723

Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P\text{,}$ лежащей на стороне $AB\text{.}$ Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC\text{,}$ $CD$ и $AD\text{.}$

Опустим из точки $P$ перпендикуляры на три прямые: $PK\perp BC$ (точка $K$ на прямой $BC$), $PL\perp CD$ (точка $L$ на прямой $CD$), $PM\perp AD$ (точка $M$ на прямой $AD$). Длины $PK\text{,}$ $PL\text{,}$ $PM$ и есть расстояния от $P$ до прямых $BC\text{,}$ $CD$ и $AD\text{.}$

Шаг 1. Работаем с углом $C\text{.}$

Лучи $CB$ и $CD$ — стороны угла $BCD$ четырёхугольника, а $CP$ — его биссектриса (по условию). По свойству биссектрисы угла каждая её точка равноудалена от сторон этого угла, поэтому

(Формально: прямоугольные треугольники $CKP$ и $CLP$ имеют общую гипотенузу $CP$ и равные острые углы $\angle KCP=\angle LCP\text{,}$ значит, они равны по гипотенузе и острому углу, откуда $PK=PL\text{.}$)

Шаг 2. Работаем с углом $D\text{.}$

Лучи $DC$ и $DA$ — стороны угла $CDA\text{,}$ а $DP$ — его биссектриса (по условию). Точно так же по свойству биссектрисы

(прямоугольные треугольники $DLP$ и $DMP$ равны по общей гипотенузе $DP$ и равным острым углам $\angle LDP=\angle MDP$).

Шаг 3. Объединяем.

Из $PK=PL$ и $PL=PM$ получаем

то есть расстояния от точки $P$ до прямых $BC\text{,}$ $CD$ и $AD$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: точка $P$ равноудалена от прямых $BC\text{,}$ $CD$ и $AD\text{,}$ так как она лежит одновременно на биссектрисе угла $C$ (даёт равенство расстояний до $BC$ и $CD$) и на биссектрисе угла $D$ (даёт равенство расстояний до $CD$ и $AD$).