Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

Опустим из точки P перпендикуляры на три прямые: PK BC (точка K на прямой BC), PL CD (точка L на прямой CD), PM AD (точка M на прямой AD). Длины PK, PL, PM и есть расстояния от P до прямых BC, CD и AD. Шаг 1. Работаем с углом C. Лучи CB и CD — стороны угла BCD четырёхугольника, а CP — его биссектриса (по условию). По свойству биссектрисы угла каждая её точка равноудалена от сторон этого угла, поэтому PK = PL. (Формально: прямоугольные треугольники CKP и CLP имеют общую гипотенузу CP и равные острые углы KCP = LCP, значит, они равны по гипотенузе и острому углу, откуда PK = PL.) Шаг 2. Работаем с углом D. Лучи DC и DA — стороны угла CDA, а DP — его биссектриса (по условию). Точно так же по свойству биссектрисы PL = PM (прямоугольные треугольники DLP и DMP равны по общей гипотенузе DP и равным острым углам LDP = MDP). Шаг 3. Объединяем. Из PK = PL и PL = PM получаем PK = PL = PM, то есть расстояния от точки P до прямых BC, CD и AD равны. Что и требовалось доказать. Ответ: точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD, так как она лежит одновременно на биссектрисе угла C (даёт равенство расстояний до BC и CD) и на биссектрисе угла D (даёт равенство расстояний до CD и AD).

Доказательство