Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

Дано: ABCD — параллелограмм, AK — биссектриса угла A, DK — биссектриса угла D, точка K лежит на стороне BC. Доказать: BK = KC. Решение. В параллелограмме BC AD. Прямая AK — секущая для этих параллельных прямых, поэтому углы BKA и KAD — накрест лежащие: BKA = KAD. Так как AK — биссектриса угла A, то BAK = KAD. Значит, BAK = BKA, то есть треугольник ABK равнобедренный с основанием AK, и BK = AB. Аналогично, BC AD и секущая DK дают CKD = KDA, а из того, что DK — биссектриса угла D, следует CDK = KDA. Значит, CDK = CKD, треугольник DCK равнобедренный и KC = CD. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD. Следовательно, BK = AB = CD = KC. Таким образом, BK = KC, то есть точка K — середина стороны BC, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

Доказательство