Задача №19722

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются
в точке $K\text{,}$ лежащей на стороне $BC\text{.}$ Докажите, что $K$ — середина $BC\text{.}$

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ $DK$ — биссектриса угла $D\text{,}$ точка $K$ лежит на стороне $BC\text{.}$

Доказать: $BK=KC\text{.}$

Решение.

1. В параллелограмме $BC\parallel AD\text{.}$ Прямая $AK$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому углы $BKA$ и $KAD$ — накрест лежащие:

2. Так как $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$ Значит,

то есть треугольник $ABK$ равнобедренный с основанием $AK\text{,}$ и

3. Аналогично, $BC\parallel AD$ и секущая $DK$ дают $\angle CKD=\angle KDA\text{,}$ а из того, что $DK$ — биссектриса угла $D\text{,}$ следует $\angle CDK=\angle KDA\text{.}$ Значит, $\angle CDK=\angle CKD\text{,}$ треугольник $DCK$ равнобедренный и

4. В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD\text{.}$ Следовательно,

Таким образом, $BK=KC\text{,}$ то есть точка $K$ — середина стороны $BC\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.