Постройте график функции y=cases x^2-10x+27, & x 4, x, & x<4. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор графика. Ветвь 1 (при x 4): y=x^2-10x+27 — парабола ветвями вверх. Выделим вершину: y=(x-5)^2+2, вершина (5;2) лежит в области x 4. На левом краю x=4: y=16-40+27=3 (точка (4;3) — закрашенная, входит). Значит на [4;+inf) функция убывает от 3 до минимума 2 (в x=5), затем возрастает до +inf. Ветвь 2 (при x<4): y=x — прямая; при x<4 пробегает все значения y<4 (точка (4;4) выколота). Подсчёт числа общих точек с прямой y=m. Прямая y=m пересекает ветвь 2 ровно в одной точке при m<4 и не пересекает при m 4. Для ветви 1 решаем x^2-10x+27=m, т.е. x=5+-sqrt(m-2), с условием x 4: m<2 — корней нет: 0 точек; m=2 — один корень x=5: 1 точка; 2<m 3 — оба корня 5+-sqrt(m-2) не меньше 4 (так как sqrt(m-2) 1): 2 точки; m>3 — годится только корень 5+sqrt(m-2) (второй меньше 4): 1 точка. Суммарное число общих точек: | Значение m | ветвь 2 | ветвь 1 | всего | |---|---|---|---| | m<2 | 1 | 0 | 1 | | m=2 | 1 | 1 | 2 | | 2<m 3 | 1 | 2 | 3 | | 3<m<4 | 1 | 1 | 2 | | m 4 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки получаются при m=2 и при 3<m<4. Ответ: m=2 и 3<m<4.

m=2 и 3<m<4