Задача №19721

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-10x+27,& x⩾4,\\ x,& x<4.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор графика.

Ветвь 1 (при $x⩾4$): $y=x^2-10x+27$ — парабола ветвями вверх. Выделим вершину:

$$y=(x-5{)}^2+2,$$

вершина $(5;2)$ лежит в области $x⩾4\text{.}$ На левом краю $x=4\text{:}$ $y=16-40+27=3$ (точка $(4;3)$ — закрашенная, входит). Значит на $[4;+\infty )$ функция убывает от $3$ до минимума $2$ (в $x=5$), затем возрастает до $+\infty \text{.}$

Ветвь 2 (при $x<4$): $y=x$ — прямая; при $x<4$ пробегает все значения $y<4$ (точка $(4;4)$ выколота).

Подсчёт числа общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Прямая $y=m$ пересекает ветвь 2 ровно в одной точке при $m<4$ и не пересекает при $m⩾4\text{.}$

Для ветви 1 решаем $x^2-10x+27=m\text{,}$ т.е. $x=5\pm \sqrt{m-2}\text{,}$ с условием $x⩾4\text{:}$

• $m<2$ — корней нет: $0$ точек;
• $m=2$ — один корень $x=5\text{:}$ $1$ точка;
• $2<m⩽3$ — оба корня $5\pm \sqrt{m-2}$ не меньше $4$ (так как $\sqrt{m-2}⩽1$): $2$ точки;
• $m>3$ — годится только корень $5+\sqrt{m-2}$ (второй меньше $4$): $1$ точка.

Суммарное число общих точек:

Ровно две общие точки получаются при $m=2$ и при $3<m<4\text{.}$

Ответ: $m=2$ и $3<m<4\text{.}$