Постройте график функции y=cases x^2-6x+11, & x 2, x+3, & x<2. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор кусочной функции. При x 2 имеем параболу y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2. Её ветви направлены вверх, вершина — точка (3;2). На луче x 2: в точке x=2 значение y=(2-3)^2+2=3 (точка (2;3) входит в график, закрашена); на отрезке 2 x 3 функция убывает от 3 до 2; при x 3 функция возрастает от 2 до +inf. При x<2 имеем прямую y=x+3. При x 2^- значение стремится к 5 (точка (2;5) выколота), при уменьшении x значение убывает до -inf. То есть эта часть покрывает все значения y<5, каждое ровно один раз. Число общих точек прямой y=m с графиком. Прямая y=m — горизонтальная. Сложим число пересечений с каждой частью. С параболой (для x 2): m<2 — 0 точек; m=2 — 1 точка (вершина x=3); 2<m 3 — 2 точки (по одной на убывающей и возрастающей ветвях); m>3 — 1 точка (только на возрастающей ветви, так как на [2;3] значения не превосходят 3). С прямой (для x<2, значения y<5): m<5 — 1 точка (x=m-3<2); m 5 — 0 точек. Суммарное число общих точек: | Значение m | парабола | прямая | всего | |---|---|---|---| | m<2 | 0 | 1 | 1 | | m=2 | 1 | 1 | 2 | | 2<m 3 | 2 | 1 | 3 | | 3<m<5 | 1 | 1 | 2 | | m 5 | 1 | 0 | 1 | Ровно две общие точки получаются при m=2 и при 3<m<5. Ответ: m=2; 3<m<5.

m=2; 3<m<5