Задача №19714

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x+11,& x⩾2,\\ x+3,& x<2.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор кусочной функции.

При $x⩾2$ имеем параболу

$$y=x^2-6x+11=(x-3{)}^2+2.$$

Её ветви направлены вверх, вершина — точка $(3;2)\text{.}$ На луче $x⩾2\text{:}$

• в точке $x=2$ значение $y=(2-3{)}^2+2=3$ (точка $(2;3)$ входит в график, закрашена);
• на отрезке $2⩽x⩽3$ функция убывает от $3$ до $2\text{;}$
• при $x⩾3$ функция возрастает от $2$ до $+\infty \text{.}$

При $x<2$ имеем прямую $y=x+3\text{.}$ При $x\to 2^{-}$ значение стремится к $5$ (точка $(2;5)$ выколота), при уменьшении $x$ значение убывает до $-\infty \text{.}$ То есть эта часть покрывает все значения $y<5\text{,}$ каждое ровно один раз.

Число общих точек прямой $y=m$ с графиком.

Прямая $y=m$ — горизонтальная. Сложим число пересечений с каждой частью.

С параболой (для $x⩾2$):

• $m<2$ — $0$ точек;
• $m=2$ — $1$ точка (вершина $x=3$);
• $2<m⩽3$ — $2$ точки (по одной на убывающей и возрастающей ветвях);
• $m>3$ — $1$ точка (только на возрастающей ветви, так как на $[2;3]$ значения не превосходят $3$).

С прямой (для $x<2\text{,}$ значения $y<5$):

• $m<5$ — $1$ точка ($x=m-3<2$);
• $m⩾5$ — $0$ точек.

Суммарное число общих точек:

Ровно две общие точки получаются при $m=2$ и при $3<m<5\text{.}$

Ответ: $m=2\text{;}$ $3<m<5\text{.}$