В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB_1 и CC_1. Докажите, что углы BB_1C_1 и BCC_1 равны.

Дано: остроугольный треугольник ABC, BB_1 и CC_1 — его высоты (B_1 in AC, C_1 in AB). Доказать: BB_1C_1 = BCC_1. Доказательство. Так как BB_1 — высота, то BB_1 AC, значит BB_1C = 90^. Так как CC_1 — высота, то CC_1 AB, значит BC_1C = 90^. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот B_1 и C_1 лежат внутри сторон AC и AB, то есть по одну сторону от прямой BC. Из каждой из точек B_1 и C_1 отрезок BC виден под прямым углом (пп. 1-2). Точка, из которой отрезок виден под углом 90^, лежит на окружности, построенной на этом отрезке как на диаметре. Следовательно, точки B_1 и C_1 лежат на окружности с диаметром BC. Значит, точки B, C_1, B_1, C лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник BC_1B_1C — вписанный. Углы BB_1C_1 и BCC_1 — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу BC_1 (не содержащую точек B_1 и C): их вершины B_1 и C лежат по одну сторону от хорды BC_1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, BB_1C_1 = BCC_1. Что и требовалось доказать.

Доказательство