Задача №19713

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $B{B}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ Докажите, что углы $B{B}_1{C}_1$ и $BC{C}_1$ равны.

Дано: остроугольный треугольник $ABC\text{,}$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ — его высоты ($B_1\in AC\text{,}$ $C_1\in AB$).

Доказать: $\angle B{B}_1{C}_1=\angle BC{C}_1\text{.}$

Доказательство.

1. Так как $B{B}_1$ — высота, то $B{B}_1\perp AC\text{,}$ значит $\angle B{B}_{1}C=90^{\circ }\text{.}$

2. Так как $C{C}_1$ — высота, то $C{C}_1\perp AB\text{,}$ значит $\angle B{C}_{1}C=90^{\circ }\text{.}$

3. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот $B_1$ и $C_1$ лежат внутри сторон $AC$ и $AB\text{,}$ то есть по одну сторону от прямой $BC\text{.}$ Из каждой из точек $B_1$ и $C_1$ отрезок $BC$ виден под прямым углом (пп. 1-2). Точка, из которой отрезок виден под углом $90^{\circ }\text{,}$ лежит на окружности, построенной на этом отрезке как на диаметре. Следовательно, точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $BC\text{.}$

4. Значит, точки $B\text{,}$ $C_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник $B{C}_1{B}_{1}C$ — вписанный.

5. Углы $\angle B{B}_1{C}_1$ и $\angle BC{C}_1$ — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу $B{C}_1$ (не содержащую точек $B_1$ и $C$): их вершины $B_1$ и $C$ лежат по одну сторону от хорды $B{C}_1\text{.}$

6. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно,

Что и требовалось доказать.