Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Точка M — пересечение продолжений сторон AB и CD; значит, точки A, B, M лежат на одной прямой и точки D, C, M лежат на одной прямой (при этом B лежит между A и M, а C — между D и M). Общий угол. Треугольники MBC и MDA имеют общий угол при вершине M: BMC = DMA. Второй угол — через вписанный четырёхугольник. Так как около ABCD описана окружность, суммы его противоположных углов равны 180^: ABC + ADC = 180^. Угол MBC и угол ABC — смежные (лучи BA и BM дополняют друг друга до прямой AM), поэтому MBC = 180^ - ABC. Сравнивая два равенства, получаем MBC = 180^ - ABC = ADC. Поскольку точка C лежит на луче DM, угол MDA совпадает с углом ADC: MDA = ADC = MBC. Вывод. В треугольниках MBC и MDA равны по два угла: M — общий и MBC = MDA. По признаку подобия по двум углам MBC MDA (соответствие вершин M M, B D, C A), что и требовалось доказать. Ответ: треугольники MBC и MDA подобны по двум углам.

Доказательство (см. решение)