Задача №19709

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность
и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются
в точке $M\text{.}$ Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Точка $M$ — пересечение продолжений сторон $AB$ и $CD\text{;}$ значит, точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $M$ лежат на одной прямой и точки $D\text{,}$ $C\text{,}$ $M$ лежат на одной прямой (при этом $B$ лежит между $A$ и $M\text{,}$ а $C$ — между $D$ и $M$).

Общий угол. Треугольники $MBC$ и $MDA$ имеют общий угол при вершине $M\text{:}$ $\angle BMC=\angle DMA\text{.}$

Второй угол — через вписанный четырёхугольник. Так как около $ABCD$ описана окружность, суммы его противоположных углов равны $180^{\circ }\text{:}$

Угол $\angle MBC$ и угол $\angle ABC$ — смежные (лучи $BA$ и $BM$ дополняют друг друга до прямой $AM$), поэтому

Сравнивая два равенства, получаем

Поскольку точка $C$ лежит на луче $DM\text{,}$ угол $\angle MDA$ совпадает с углом $\angle ADC\text{:}$

Вывод. В треугольниках $MBC$ и $MDA$ равны по два угла: $\angle M$ — общий и $\angle MBC=\angle MDA\text{.}$ По признаку подобия по двум углам

(соответствие вершин $M\leftrightarrow M\text{,}$ $B\leftrightarrow D\text{,}$ $C\leftrightarrow A$), что и требовалось доказать.

Ответ: треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны по двум углам.