Задача №19706

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $B{B}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ Докажите, что углы $C{C}_1{B}_1$ и $CB{B}_1$ равны.

Дано: $ABC$ — остроугольный треугольник, $B{B}_1$ и $C{C}_1$ — его высоты ($B_1\in AC\text{,}$ $C_1\in AB$).

Доказать: $\angle C{C}_1{B}_1=\angle CB{B}_1\text{.}$

Доказательство (через окружность на диаметре $BC$).

1. Так как $B{B}_1$ — высота, то $\angle B{B}_{1}C=90^{\circ }\text{;}$ так как $C{C}_1$ — высота, то $\angle B{C}_{1}C=90^{\circ }\text{.}$

2. Точки $B_1$ и $C_1$ видны из отрезка $BC$ под прямым углом, значит обе они лежат на окружности с диаметром $BC$ (геометрическое место точек, из которых отрезок виден под прямым углом). Следовательно, точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ лежат на одной окружности.

3. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах (а не на их продолжениях), и точки $B$ и $C_1$ лежат на одной дуге, ограниченной хордой $C{B}_1\text{.}$

4. Углы $\angle C{C}_1{B}_1$ и $\angle CB{B}_1$ — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу $C{B}_1$ и лежащие по одну сторону от хорды $C{B}_1\text{.}$ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому

Что и требовалось доказать.

Проверка другим способом (через подобие).

Прямоугольные треугольники $AB{B}_1$ и $AC{C}_1$ имеют общий острый угол $A\text{,}$ значит они подобны, откуда $\frac{A{B}_1}{A{C}_1}=\frac{AB}{AC}\text{.}$ Тогда треугольники $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (общий угол $A$), поэтому $\angle A{C}_1{B}_1=\angle ACB\text{.}$

Так как $\angle A{C}_{1}C=90^{\circ }$ и луч $C_1{B}_1$ проходит внутри этого угла, то

Из прямоугольного треугольника $B{B}_{1}C$ ($\angle B{B}_{1}C=90^{\circ }$):

Оба угла равны $90^{\circ }-\angle ACB\text{,}$ значит $\angle C{C}_1{B}_1=\angle CB{B}_1\text{.}$

Ответ: утверждение доказано.