В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB_1 и CC_1. Докажите, что углы CC_1B_1 и CBB_1 равны.

Дано: ABC — остроугольный треугольник, BB_1 и CC_1 — его высоты (B_1 in AC, C_1 in AB). Доказать: CC_1B_1 = CBB_1. Доказательство (через окружность на диаметре BC). Так как BB_1 — высота, то BB_1C = 90^; так как CC_1 — высота, то BC_1C = 90^. Точки B_1 и C_1 видны из отрезка BC под прямым углом, значит обе они лежат на окружности с диаметром BC (геометрическое место точек, из которых отрезок виден под прямым углом). Следовательно, точки B, C, B_1, C_1 лежат на одной окружности. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот B_1 и C_1 лежат на сторонах (а не на их продолжениях), и точки B и C_1 лежат на одной дуге, ограниченной хордой CB_1. Углы CC_1B_1 и CBB_1 — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу CB_1 и лежащие по одну сторону от хорды CB_1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому CC_1B_1 = CBB_1. Что и требовалось доказать. Проверка другим способом (через подобие). Прямоугольные треугольники ABB_1 и ACC_1 имеют общий острый угол A, значит они подобны, откуда (AB_1)/(AC_1)=(AB)/(AC). Тогда треугольники AB_1C_1 и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (общий угол A), поэтому AC_1B_1 = ACB. Так как AC_1C = 90^ и луч C_1B_1 проходит внутри этого угла, то CC_1B_1 = 90^ - AC_1B_1 = 90^ - ACB. Из прямоугольного треугольника BB_1C ( BB_1C = 90^): CBB_1 = 90^ - BCB_1 = 90^ - ACB. Оба угла равны 90^ - ACB, значит CC_1B_1 = CBB_1. Ответ: утверждение доказано.

Доказательство