Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что отрезки BK и DM равны.

Дано: ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей AC и BD; прямая, проходящая через O, пересекает сторону BC в точке K, а сторону AD — в точке M. Доказать: BK = DM. Решение. По свойству параллелограмма его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому BO = OD. Точки K, O, M лежат на одной прямой, значит углы BOK и DOM — вертикальные, и потому BOK = DOM. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: BC AD. Прямая BD — секущая для этих параллельных прямых, а углы KBO и MDO — накрест лежащие при этой секущей. Следовательно, KBO = MDO. Рассмотрим треугольники BOK и DOM. В них BO = OD (п. 1), KBO = MDO (п. 3) и BOK = DOM (п. 2). Значит, BOK = DOM по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). При этом равенстве вершине B соответствует вершина D, вершине O — вершина O, вершине K — вершина M. В равных треугольниках соответственные стороны равны, а стороне BK соответствует сторона DM. Следовательно, BK = DM. Что и требовалось доказать. Ответ: доказано. Доказательство: BO = OD (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам), BOK = DOM (вертикальные), KBO = MDO (накрест лежащие при BC AD и секущей BD), поэтому BOK = DOM по стороне и двум прилежащим углам, откуда BK = DM.

Доказательство