Задача №19704

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $BK$ и $DM$ равны.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{;}$ прямая, проходящая через $O\text{,}$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{,}$ а сторону $AD$ — в точке $M\text{.}$

Доказать: $BK=DM\text{.}$

Решение.

1. По свойству параллелограмма его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому

2. Точки $K\text{,}$ $O\text{,}$ $M$ лежат на одной прямой, значит углы $\angle BOK$ и $\angle DOM$ — вертикальные, и потому

3. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, а углы $\angle KBO$ и $\angle MDO$ — накрест лежащие при этой секущей. Следовательно,

4. Рассмотрим треугольники $BOK$ и $DOM\text{.}$ В них $BO=OD$ (п. 1), $\angle KBO=\angle MDO$ (п. 3) и $\angle BOK=\angle DOM$ (п. 2). Значит,

по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5. При этом равенстве вершине $B$ соответствует вершина $D\text{,}$ вершине $O$ — вершина $O\text{,}$ вершине $K$ — вершина $M\text{.}$ В равных треугольниках соответственные стороны равны, а стороне $BK$ соответствует сторона $DM\text{.}$ Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Доказательство: $BO=OD$ (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам), $\angle BOK=\angle DOM$ (вертикальные), $\angle KBO=\angle MDO$ (накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $BD$), поэтому $△BOK=△DOM$ по стороне и двум прилежащим углам, откуда $BK=DM\text{.}$