Задача №19702

Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB\text{.}$ Точка $K$ — середина стороны $BC\text{.}$ Докажите, что $AK$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ $BC=2AB\text{,}$ точка $K$ — середина стороны $BC\text{.}$

Доказать: $AK$ — биссектриса угла $BAD\text{,}$ то есть $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$

Решение.

1. Так как $K$ — середина стороны $BC\text{,}$ то

Значит, в треугольнике $ABK$ выполнено $AB=BK\text{,}$ то есть треугольник $ABK$ — равнобедренный с основанием $AK\text{.}$ Углы при основании равны:

2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $AD\parallel BC\text{.}$ Прямая $AK$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

3. Из пунктов 1 и 2 получаем

следовательно $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$

Луч $AK$ делит угол $BAD$ на два равных угла, значит $AK$ — биссектриса угла $BAD\text{,}$ что и требовалось доказать. $■$