Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

Дано: окружность с центром P и окружность с центром Q пересекаются в точках K и L; точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Доказать: PQ KL. Решение. Точки K и L лежат на окружности с центром P, поэтому PK и PL — радиусы этой окружности, а значит PK = PL. Точка, равноудалённая от концов отрезка KL, лежит на серединном перпендикуляре к KL. Следовательно, точка P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL. Аналогично QK и QL — радиусы окружности с центром Q, поэтому QK = QL, и точка Q также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL. Центры P и Q различны: если бы P = Q, то окружности были бы концентрическими и не имели бы общих точек (при разных радиусах) либо совпадали бы (при равных радиусах), что противоречит условию о пересечении ровно в двух точках K и L. Через две различные точки проходит единственная прямая. Обе точки P и Q лежат на серединном перпендикуляре к KL, значит прямая PQ и есть этот серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к отрезку KL по определению перпендикулярен прямой KL. Поэтому PQ KL. Замечание (равносильное рассуждение без ссылки на серединный перпендикуляр). Треугольники PKQ и PLQ равны по трём сторонам: PK = PL, QK = QL, PQ — общая. Значит KPQ = LPQ, то есть в равнобедренном треугольнике KPL (где PK = PL) отрезок прямой PQ содержит биссектрису угла при вершине P. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его высотой, поэтому PQ KL. Что и требовалось доказать. Ответ: перпендикулярность прямых PQ и KL доказана.

Доказательство