Задача №19700

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L\text{,}$ причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL\text{.}$ Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.

Дано: окружность с центром $P$ и окружность с центром $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L\text{;}$ точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL\text{.}$

Доказать: $PQ\perp KL\text{.}$

Решение.

1. Точки $K$ и $L$ лежат на окружности с центром $P\text{,}$ поэтому $PK$ и $PL$ — радиусы этой окружности, а значит

Точка, равноудалённая от концов отрезка $KL\text{,}$ лежит на серединном перпендикуляре к $KL\text{.}$ Следовательно, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $KL\text{.}$

2. Аналогично $QK$ и $QL$ — радиусы окружности с центром $Q\text{,}$ поэтому

и точка $Q$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $KL\text{.}$

3. Центры $P$ и $Q$ различны: если бы $P=Q\text{,}$ то окружности были бы концентрическими и не имели бы общих точек (при разных радиусах) либо совпадали бы (при равных радиусах), что противоречит условию о пересечении ровно в двух точках $K$ и $L\text{.}$

4. Через две различные точки проходит единственная прямая. Обе точки $P$ и $Q$ лежат на серединном перпендикуляре к $KL\text{,}$ значит прямая $PQ$ и есть этот серединный перпендикуляр.

5. Серединный перпендикуляр к отрезку $KL$ по определению перпендикулярен прямой $KL\text{.}$ Поэтому

Замечание (равносильное рассуждение без ссылки на серединный перпендикуляр). Треугольники $PKQ$ и $PLQ$ равны по трём сторонам: $PK=PL\text{,}$ $QK=QL\text{,}$ $PQ$ — общая. Значит $\angle KPQ=\angle LPQ\text{,}$ то есть в равнобедренном треугольнике $KPL$ (где $PK=PL$) отрезок прямой $PQ$ содержит биссектрису угла при вершине $P\text{.}$ Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его высотой, поэтому $PQ\perp KL\text{.}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: перпендикулярность прямых $PQ$ и $KL$ доказана.