В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA_(1) и BB_(1). Докажите, что углы AA_(1)B_(1) и ABB_(1) равны.

Пусть AA_1 и BB_1 — высоты остроугольного треугольника ABC: точка A_1 лежит на стороне BC, точка B_1 — на стороне AC (треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат именно на сторонах, а не на их продолжениях). Шаг 1. Точки A_1 и B_1 лежат на окружности с диаметром AB. По определению высоты AA_1B = 90^, AB_1B = 90^. Из каждой точки A_1 и B_1 отрезок AB виден под прямым углом. По свойству угла, опирающегося на диаметр (обратное утверждение к теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр), обе точки лежат на окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Обозначим эту окружность ; её центр — середина O отрезка AB, а радиус равен (1)/(2)AB. Таким образом, четыре точки A, B, A_1, B_1 лежат на одной окружности . Шаг 2. Сравнение углов. В окружности рассмотрим хорду AB_1. Угол AA_1B_1 — вписанный в угол с вершиной A_1, опирающийся на хорду AB_1. Угол ABB_1 — вписанный в угол с вершиной B, опирающийся на ту же хорду AB_1. Вершины A_1 и B лежат по одну сторону от прямой AB_1 (то есть от прямой AC): точка B — вне прямой AC, а точка A_1 лежит на стороне BC между B и C, значит, в той же полуплоскости с границей AC, что и B. Следовательно, оба вписанных угла опираются на одну и ту же дугу AB_1, не содержащую точек A_1 и B. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (каждый равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге). Поэтому AA_1B_1 = ABB_1. Что и требовалось доказать. Ответ: углы AA_1B_1 и ABB_1 равны, так как это вписанные углы окружности с диаметром AB, опирающиеся на одну дугу AB_1.

Доказательство