Задача №19699

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $A{A}_1$ и $B{B}_1\text{.}$ Докажите, что углы $A{A}_1{B}_1$ и $AB{B}_1$ равны.

Пусть $A{A}_1$ и $B{B}_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC\text{:}$ точка $A_1$ лежит на стороне $BC\text{,}$ точка $B_1$ — на стороне $AC$ (треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат именно на сторонах, а не на их продолжениях).

Шаг 1. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB\text{.}$

По определению высоты

Из каждой точки $A_1$ и $B_1$ отрезок $AB$ виден под прямым углом. По свойству угла, опирающегося на диаметр (обратное утверждение к теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр), обе точки лежат на окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре. Обозначим эту окружность $\omega \text{;}$ её центр — середина $O$ отрезка $AB\text{,}$ а радиус равен $\frac{1}{2}AB\text{.}$

Таким образом, четыре точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $A_1\text{,}$ $B_1$ лежат на одной окружности $\omega \text{.}$

Шаг 2. Сравнение углов.

В окружности $\omega$ рассмотрим хорду $A{B}_1\text{.}$

• Угол $\angle A{A}_1{B}_1$ — вписанный в $\omega$ угол с вершиной $A_1\text{,}$ опирающийся на хорду $A{B}_1\text{.}$
• Угол $\angle AB{B}_1$ — вписанный в $\omega$ угол с вершиной $B\text{,}$ опирающийся на ту же хорду $A{B}_1\text{.}$

Вершины $A_1$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $A{B}_1$ (то есть от прямой $AC$): точка $B$ — вне прямой $AC\text{,}$ а точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ между $B$ и $C\text{,}$ значит, в той же полуплоскости с границей $AC\text{,}$ что и $B\text{.}$ Следовательно, оба вписанных угла опираются на одну и ту же дугу $A{B}_1\text{,}$ не содержащую точек $A_1$ и $B\text{.}$

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (каждый равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге). Поэтому

Что и требовалось доказать.

Ответ: углы $\angle A{A}_1{B}_1$ и $\angle AB{B}_1$ равны, так как это вписанные углы окружности с диаметром $AB\text{,}$ опирающиеся на одну дугу $A{B}_1\text{.}$