Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Пусть внутренняя общая касательная касается окружности с центром I в точке A, а окружности с центром J — в точке B, и пересекает отрезок IJ в точке P. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому IA AB, JB AB, значит IAP = JBP = 90^. Так как касательная внутренняя, точки A и B лежат по разные стороны от прямой IJ, а центры I и J — по разные стороны от касательной. Поэтому точка P лежит между I и J, и углы IPA и JPB — вертикальные, откуда IPA = JPB. Треугольники IAP и JBP прямоугольные и имеют равные острые углы при вершине P, значит по двум углам IAP JBP. Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон: (IA)/(JB) = (IP)/(JP). Здесь IA и JB — радиусы окружностей, а по условию касательная делит отрезок центров в отношении IP:JP = m:n. Следовательно, (IA)/(JB) = (m)/(n). Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому (2IA)/(2JB) = (IA)/(JB) = (m)/(n). Ответ: диаметры окружностей относятся как m:n, что и требовалось доказать.

Доказано: диаметры относятся как \(m:n\).