Задача №19694

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m:n\text{.}$ Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m:n\text{.}$

Пусть внутренняя общая касательная касается окружности с центром $I$ в точке $A\text{,}$ а окружности с центром $J$ — в точке $B\text{,}$ и пересекает отрезок $IJ$ в точке $P\text{.}$

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому

значит $\angle IAP=\angle JBP=90^{\circ }\text{.}$

Так как касательная внутренняя, точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $IJ\text{,}$ а центры $I$ и $J$ — по разные стороны от касательной. Поэтому точка $P$ лежит между $I$ и $J\text{,}$ и углы $\angle IPA$ и $\angle JPB$ — вертикальные, откуда

Треугольники $IAP$ и $JBP$ прямоугольные и имеют равные острые углы при вершине $P\text{,}$ значит по двум углам

Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон:

Здесь $IA$ и $JB$ — радиусы окружностей, а по условию касательная делит отрезок центров в отношении $IP:JP=m:n\text{.}$ Следовательно,

Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому

Ответ: диаметры окружностей относятся как $m:n\text{,}$ что и требовалось доказать.