Задача №19692

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $E\text{.}$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади трапеции.

Обозначим основания трапеции: $BC=b\text{,}$ $AD=a\text{,}$ а её высоту — $h$ (расстояние между прямыми $BC$ и $AD$).

Шаг 1. Расстояние от точки $E$ до оснований.

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Значит, прямая, содержащая среднюю линию, параллельна $BC$ и $AD$ и проходит через середину каждого отрезка, соединяющего эти прямые. Поэтому она равноудалена от прямых $BC$ и $AD\text{,}$ и расстояние от любой её точки (в частности, от $E$) до каждого из оснований равно $\frac{h}{2}\text{.}$

Шаг 2. Площади треугольников.

В треугольнике $BEC$ основанием служит $BC=b\text{,}$ а высотой — расстояние от $E$ до прямой $BC\text{,}$ то есть $\frac{h}{2}\text{:}$

Аналогично в треугольнике $AED$ основание $AD=a\text{,}$ высота — расстояние от $E$ до прямой $AD\text{,}$ то есть $\frac{h}{2}\text{:}$

Шаг 3. Сумма и сравнение с площадью трапеции.

Площадь трапеции равна $S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}\text{,}$ откуда

Заметим, что результат не зависит от выбора точки $E$ на средней линии, что и требовалось.

Ответ: сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Доказано: $S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$