На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Обозначим основания трапеции: BC=b, AD=a, а её высоту — h (расстояние между прямыми BC и AD). Шаг 1. Расстояние от точки E до оснований. Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Значит, прямая, содержащая среднюю линию, параллельна BC и AD и проходит через середину каждого отрезка, соединяющего эти прямые. Поэтому она равноудалена от прямых BC и AD, и расстояние от любой её точки (в частности, от E) до каждого из оснований равно (h)/(2). Шаг 2. Площади треугольников. В треугольнике BEC основанием служит BC=b, а высотой — расстояние от E до прямой BC, то есть (h)/(2): S_(BEC)=12* b*(h)/(2)=(bh)/(4). Аналогично в треугольнике AED основание AD=a, высота — расстояние от E до прямой AD, то есть (h)/(2): S_(AED)=12* a*(h)/(2)=(ah)/(4). Шаг 3. Сумма и сравнение с площадью трапеции. S_(BEC)+S_(AED)=(bh)/(4)+(ah)/(4)=((a+b)h)/(4). Площадь трапеции равна S_(ABCD)=((a+b)h)/(2), откуда S_(BEC)+S_(AED)=12*((a+b)h)/(2)=12 S_(ABCD). Заметим, что результат не зависит от выбора точки E на средней линии, что и требовалось. Ответ: сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать. Доказано: S_(BEC)+S_(AED)=12 S_(ABCD)

Доказательство