Задача №19690

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $A{A}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ Докажите, что углы $A{A}_1{C}_1$ и $AC{C}_1$ равны.

Дано: остроугольный треугольник $ABC\text{,}$ $A{A}_1$ и $C{C}_1$ — высоты ($A_1\in BC\text{,}$ $C_1\in AB$).

Доказать: $\angle A{A}_1{C}_1=\angle AC{C}_1\text{.}$

Решение.

1. Так как $A{A}_1$ — высота, то $A{A}_1\perp BC\text{,}$ значит $\angle A{A}_{1}C=90^{\circ }\text{.}$

2. Так как $C{C}_1$ — высота, то $C{C}_1\perp AB\text{,}$ значит $\angle A{C}_{1}C=90^{\circ }\text{.}$

3. Рассмотрим окружность, построенную на отрезке $AC$ как на диаметре. Точка лежит на такой окружности тогда и только тогда, когда отрезок $AC$ виден из неё под прямым углом. Из пунктов 1 и 2 отрезок $AC$ виден под прямым углом как из точки $A_1\text{,}$ так и из точки $C_1\text{.}$ Следовательно, точки $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $AC\text{,}$ то есть четыре точки $A\text{,}$ $C_1\text{,}$ $A_1\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности.

4. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат внутри сторон: $A_1$ — внутри $BC\text{,}$ $C_1$ — внутри $AB\text{.}$ Значит, точки $A_1$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AB\text{,}$ то есть от хорды $A{C}_1\text{.}$ Углы $\angle A{A}_1{C}_1$ (с вершиной $A_1$) и $\angle AC{C}_1$ (с вершиной $C$) — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу $A{C}_1$ (ту, которая не содержит точек $A_1$ и $C$).

5. По теореме о вписанных углах углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

Ответ: утверждение доказано: $\angle A{A}_1{C}_1=\angle AC{C}_1\text{,}$ так как точки $A\text{,}$ $C_1\text{,}$ $A_1\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности с диаметром $AC\text{,}$ и оба угла — вписанные, опирающиеся на дугу $A{C}_1\text{.}$

Доказательство: точки $A\text{,}$ $C_1\text{,}$ $A_1\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности с диаметром $AC\text{,}$ поэтому вписанные углы $A{A}_1{C}_1$ и $AC{C}_1$ опираются на одну дугу $A{C}_1$ и равны.