В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA_1 и CC_1. Докажите, что углы AA_1C_1 и ACC_1 равны.

Дано: остроугольный треугольник ABC, AA_1 и CC_1 — высоты (A_1 in BC, C_1 in AB). Доказать: AA_1C_1 = ACC_1. Решение. Так как AA_1 — высота, то AA_1 BC, значит AA_1C = 90^. Так как CC_1 — высота, то CC_1 AB, значит AC_1C = 90^. Рассмотрим окружность, построенную на отрезке AC как на диаметре. Точка лежит на такой окружности тогда и только тогда, когда отрезок AC виден из неё под прямым углом. Из пунктов 1 и 2 отрезок AC виден под прямым углом как из точки A_1, так и из точки C_1. Следовательно, точки A_1 и C_1 лежат на окружности с диаметром AC, то есть четыре точки A, C_1, A_1, C лежат на одной окружности. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат внутри сторон: A_1 — внутри BC, C_1 — внутри AB. Значит, точки A_1 и C лежат по одну сторону от прямой AB, то есть от хорды AC_1. Углы AA_1C_1 (с вершиной A_1) и ACC_1 (с вершиной C) — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу AC_1 (ту, которая не содержит точек A_1 и C). По теореме о вписанных углах углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: AA_1C_1 = ACC_1. Ответ: утверждение доказано: AA_1C_1 = ACC_1, так как точки A, C_1, A_1, C лежат на одной окружности с диаметром AC, и оба угла — вписанные, опирающиеся на дугу AC_1. Доказательство: точки A, C_1, A_1, C лежат на одной окружности с диаметром AC, поэтому вписанные углы AA_1C_1 и ACC_1 опираются на одну дугу AC_1 и равны.

Доказательство