Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.

Обозначим через r_I радиус окружности с центром I, через r_J — радиус окружности с центром J. Шаг 1. Точка I равноудалена от A и B. Точки A и B лежат на окружности с центром I, поэтому IA = IB = r_I. Значит, I принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB (геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка). Шаг 2. Точка J равноудалена от A и B. Аналогично A и B лежат на окружности с центром J, поэтому JA = JB = r_J, и точка J также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Шаг 3. Прямая IJ — серединный перпендикуляр. Окружности пересекаются в двух различных точках A и B, следовательно, они не совпадают и их центры различны: I != J. Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку AB. По определению серединный перпендикуляр к отрезку AB перпендикулярен прямой AB. Значит, AB IJ, что и требовалось доказать. Замечание (то же без ссылки на ГМТ). Пусть M — точка пересечения прямых AB и IJ. Треугольники AIJ и BIJ равны по трём сторонам (IA = IB, JA = JB, IJ — общая), откуда AIJ = BIJ, то есть IM — биссектриса равнобедренного треугольника AIB (IA = IB), проведённая из вершины к основанию. В равнобедренном треугольнике такая биссектриса является и высотой, поэтому IM AB, то есть IJ AB. Ответ: прямые AB и IJ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Доказательство