Задача №19688

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B\text{,}$ причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $AB\text{.}$ Докажите, что прямые $AB$ и $IJ$ перпендикулярны.

Обозначим через $r_I$ радиус окружности с центром $I\text{,}$ через $r_J$ — радиус окружности с центром $J\text{.}$

Шаг 1. Точка $I$ равноудалена от $A$ и $B\text{.}$

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $I\text{,}$ поэтому

Значит, $I$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$ (геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка).

Шаг 2. Точка $J$ равноудалена от $A$ и $B\text{.}$

Аналогично $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $J\text{,}$ поэтому

и точка $J$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB\text{.}$

Шаг 3. Прямая $IJ$ — серединный перпендикуляр.

Окружности пересекаются в двух различных точках $A$ и $B\text{,}$ следовательно, они не совпадают и их центры различны: $I\ne J\text{.}$ Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $IJ$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $AB\text{.}$

По определению серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ перпендикулярен прямой $AB\text{.}$ Значит, $AB\perp IJ\text{,}$ что и требовалось доказать.

Замечание (то же без ссылки на ГМТ). Пусть $M$ — точка пересечения прямых $AB$ и $IJ\text{.}$ Треугольники $AIJ$ и $BIJ$ равны по трём сторонам ($IA=IB\text{,}$ $JA=JB\text{,}$ $IJ$ — общая), откуда $\angle AIJ=\angle BIJ\text{,}$ то есть $IM$ — биссектриса равнобедренного треугольника $AIB$ ($IA=IB$), проведённая из вершины к основанию. В равнобедренном треугольнике такая биссектриса является и высотой, поэтому $IM\perp AB\text{,}$ то есть $IJ\perp AB\text{.}$

Ответ: прямые $AB$ и $IJ$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.