Задача №19684

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 3 и 12, $BD=6\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

По определению трапеции основания $BC$ и $AD$ параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$

Прямая $BD$ — секущая для параллельных прямых $BC$ и $AD\text{.}$ Тогда углы $CBD$ и $BDA$ — накрест лежащие, а значит, равны:

Рассмотрим стороны, прилежащие к этим равным углам.

В треугольнике $CBD$ угол $CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{:}$ $BC=3\text{,}$ $BD=6\text{.}$

В треугольнике $BDA$ угол $BDA$ заключён между сторонами $DB$ и $DA\text{:}$ $DB=6\text{,}$ $DA=12\text{.}$

Найдём отношения соответственных сторон:

Таким образом, $\frac{BC}{DB}=\frac{BD}{DA}\text{,}$ то есть две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны ($\angle CBD=\angle BDA$).

По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Что и требовалось доказать.