Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Точки C и D лежат на окружности с центром E, поэтому EC и ED — радиусы этой окружности, а значит EC = ED. Значит, точка E равноудалена от концов отрезка CD, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Аналогично точки C и D лежат на окружности с центром F, поэтому FC и FD — радиусы этой окружности, и FC = FD. Значит, точка F тоже равноудалена от концов отрезка CD и тоже лежит на серединном перпендикуляре к CD. Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудалённых от его концов; это единственная прямая. Через две различные точки E и F (центры разных окружностей, E != F) проходит единственная прямая, поэтому прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CD. Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку CD, следовательно, прямые CD и EF перпендикулярны. Ответ: CD EF, что и требовалось доказать.

Доказано: CD ⊥ EF