Задача №19683

Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D\text{,}$ причём точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD\text{.}$ Докажите,
что прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны.

Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром $E\text{,}$ поэтому $EC$ и $ED$ — радиусы этой окружности, а значит

Значит, точка $E$ равноудалена от концов отрезка $CD\text{,}$ то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD\text{.}$

Аналогично точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром $F\text{,}$ поэтому $FC$ и $FD$ — радиусы этой окружности, и

Значит, точка $F$ тоже равноудалена от концов отрезка $CD$ и тоже лежит на серединном перпендикуляре к $CD\text{.}$

Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудалённых от его концов; это единственная прямая. Через две различные точки $E$ и $F$ (центры разных окружностей, $E\ne F$) проходит единственная прямая, поэтому прямая $EF$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $CD\text{.}$

Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $CD\text{,}$ следовательно, прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны.

Ответ: $CD\perp EF\text{,}$ что и требовалось доказать.