Задача №19681

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4,5 и 18, $BD=9\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Дано: $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC=4,5$ и $AD=18\text{,}$ диагональ $BD=9\text{.}$

Доказать: $△CBD\sim △BDA\text{.}$

Доказательство.

1. Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD\text{,}$ то $BC\parallel AD\text{.}$ Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

2. Найдём отношения сторон, прилежащих к этим углам. В треугольнике $CBD$ угол $\angle CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{,}$ в треугольнике $BDA$ угол $\angle BDA$ заключён между сторонами $DB$ и $DA\text{:}$

Значит,

3. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключённые между этими сторонами, равны. По второму признаку подобия треугольников

(соответствие вершин $C\to B\text{,}$ $B\to D\text{,}$ $D\to A$), коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}\text{.}$

Что и требовалось доказать. $■$

Ответ: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом $\frac{1}{2}\text{.}$

Доказательство: $△CBD\sim △BDA$ по двум пропорциональным сторонам ($BC:BD=BD:DA=1:2$) и равному углу между ними ($\angle CBD=\angle BDA$)