Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что CL — биссектриса угла BCD.

Пусть BC=a. По условию AB=2a, а L — середина стороны AB, поэтому BL = (AB)/(2) = a = BC. Шаг 1. Треугольник BLC равнобедренный. В треугольнике BLC стороны BL и BC равны, значит углы при основании LC равны: BLC = BCL. Шаг 2. Накрест лежащие углы. В параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а точка L лежит на AB, поэтому LB CD. Прямая LC — секущая для этих параллельных прямых, а углы BLC и LCD — накрест лежащие. Следовательно, BLC = LCD. Шаг 3. Вывод. Из шагов 1 и 2 получаем BCL = BLC = LCD, то есть луч CL делит угол BCD на два равных угла. Так как L лежит на стороне AB, луч CL проходит внутри угла BCD, значит CL — биссектриса угла BCD. Что и требовалось доказать. Доказательство: BL=BC даёт BLC= BCL, а AB CD даёт BLC= LCD; значит BCL= LCD, то есть CL — биссектриса угла BCD.

Доказательство