Задача №19679

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC\text{.}$
Точка $L$ — середина стороны $AB\text{.}$ Докажите, что $CL$ — биссектриса
угла $BCD\text{.}$

Пусть $BC=a\text{.}$ По условию $AB=2a\text{,}$ а $L$ — середина стороны $AB\text{,}$ поэтому

Шаг 1. Треугольник $BLC$ равнобедренный.
В треугольнике $BLC$ стороны $BL$ и $BC$ равны, значит углы при основании $LC$ равны:

Шаг 2. Накрест лежащие углы.
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны, а точка $L$ лежит на $AB\text{,}$ поэтому $LB\parallel CD\text{.}$ Прямая $LC$ — секущая для этих параллельных прямых, а углы $BLC$ и $LCD$ — накрест лежащие. Следовательно,

Шаг 3. Вывод.
Из шагов 1 и 2 получаем

то есть луч $CL$ делит угол $BCD$ на два равных угла. Так как $L$ лежит на стороне $AB\text{,}$ луч $CL$ проходит внутри угла $BCD\text{,}$ значит $CL$ — биссектриса угла $BCD\text{.}$

Что и требовалось доказать.

Доказательство: $BL=BC$ даёт $\angle BLC=\angle BCL\text{,}$ а $AB\parallel CD$ даёт $\angle BLC=\angle LCD\text{;}$ значит $\angle BCL=\angle LCD\text{,}$ то есть $CL$ — биссектриса угла $BCD\text{.}$