В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA_1 и BB_1. Докажите, что треугольники A_1CB_1 и ACB подобны.

Дано: треугольник ABC, угол ACB тупой, AA_1 и BB_1 — высоты (A_1 лежит на прямой BC, B_1 — на прямой AC). Положение оснований высот. Так как угол ACB тупой, углы ABC и BAC острые, поэтому основания высот, опущенных из A и из B, лежат вне отрезков BC и AC — за точкой C. Значит, луч CA_1 противоположен лучу CB, а луч CB_1 противоположен лучу CA. Равенство углов при вершине C. Углы A_1CB_1 и ACB образованы парами противоположных лучей, то есть являются вертикальными, поэтому A_1CB_1= ACB. Подобие прямоугольных треугольников ACA_1 и BCB_1. Треугольники ACA_1 и BCB_1 прямоугольные ( AA_1C= BB_1C=90^). Их острые углы при вершине C равны, так как каждый из углов ACA_1 и BCB_1 смежный с углом ACB: ACA_1= BCB_1=180^- ACB. По признаку подобия по двум углам ACA_1 BCB_1 (соответствие A B, C C, A_1 B_1). Отсюда (CA_1)/(CB_1)=(CA)/(CB), то есть (CA_1)/(CA)=(CB_1)/(CB). Вывод. В треугольниках A_1CB_1 и ACB углы при общей вершине C равны (пункт 2), а заключающие их стороны пропорциональны (пункт 3). По второму признаку подобия (две стороны и угол между ними) A_1CB_1 ACB. Что и требовалось доказать.

Доказательство