Задача №19675

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $A{A}_1$ и $B{B}_1\text{.}$ Докажите, что треугольники $A_{1}C{B}_1$ и $ACB$ подобны.

Дано: треугольник $ABC\text{,}$ угол $ACB$ тупой, $A{A}_1$ и $B{B}_1$ — высоты ($A_1$ лежит на прямой $BC\text{,}$ $B_1$ — на прямой $AC$).

1. Положение оснований высот.

Так как угол $ACB$ тупой, углы $ABC$ и $BAC$ острые, поэтому основания высот, опущенных из $A$ и из $B\text{,}$ лежат вне отрезков $BC$ и $AC$ — за точкой $C\text{.}$ Значит, луч $C{A}_1$ противоположен лучу $CB\text{,}$ а луч $C{B}_1$ противоположен лучу $CA\text{.}$

2. Равенство углов при вершине $C\text{.}$

Углы $A_{1}C{B}_1$ и $ACB$ образованы парами противоположных лучей, то есть являются вертикальными, поэтому

3. Подобие прямоугольных треугольников $AC{A}_1$ и $BC{B}_1\text{.}$

Треугольники $AC{A}_1$ и $BC{B}_1$ прямоугольные ($\angle A{A}_{1}C=\angle B{B}_{1}C=90^{\circ }$). Их острые углы при вершине $C$ равны, так как каждый из углов $\angle AC{A}_1$ и $\angle BC{B}_1$ смежный с углом $ACB\text{:}$

По признаку подобия по двум углам $△AC{A}_1\sim △BC{B}_1$ (соответствие $A\leftrightarrow B\text{,}$ $C\leftrightarrow C\text{,}$ $A_1\leftrightarrow B_1$). Отсюда

4. Вывод.

В треугольниках $A_{1}C{B}_1$ и $ACB$ углы при общей вершине $C$ равны (пункт 2), а заключающие их стороны пропорциональны (пункт 3). По второму признаку подобия (две стороны и угол между ними)

Что и требовалось доказать.