Задача №19674

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}1,5x-1,& x<2,\\ -1,5x+3,& 2⩽x⩽3,\\ 3x-10,5,& x>3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. График состоит из трёх кусков линейных функций.

1) При $x<2\text{:}$ $y=1,5x-1$ — луч (без концевой точки), возрастающий. При $x\to 2^{-}$ значение стремится к $1,5\cdot 2-1=2\text{,}$ поэтому конец $(2;2)$ — выколотая точка. Значения на этом куске: $y<2\text{,}$ причём каждое значение $y<2$ достигается ровно один раз.

2) При $2⩽x⩽3\text{:}$ $y=-1,5x+3$ — отрезок с концами $(2;0)$ и $(3;-1,5)$ (обе точки принадлежат графику), функция убывает, значения $y\in [-1,5;0]\text{.}$

3) При $x>3\text{:}$ $y=3x-10,5$ — возрастающий луч; при $x\to 3^{+}$ значение стремится к $3\cdot 3-10,5=-1,5\text{,}$ и эта точка уже взята вторым куском, так что в $x=3$ график непрерывен. Значения на этом куске: $y>-1,5\text{,}$ каждое ровно один раз.

Сколько решений даёт каждый кусок для уравнения $y=m\text{.}$

• Кусок 1: $1,5x-1=m\Rightarrow x=\frac{m+1}{1,5}\text{;}$ условие $x<2$ равносильно $m<2\text{.}$
• Кусок 2: $-1,5x+3=m\Rightarrow x=\frac{3-m}{1,5}\text{;}$ условие $2⩽x⩽3$ равносильно $-1,5⩽m⩽0\text{.}$
• Кусок 3: $3x-10,5=m\Rightarrow x=\frac{m+10,5}{3}\text{;}$ условие $x>3$ равносильно $m>-1,5\text{.}$

Подсчёт общего числа точек $N(m)\text{.}$

• $m<-1,5\text{:}$ только кусок 1 $\Rightarrow N=1\text{.}$
• $m=-1,5\text{:}$ кусок 1 и кусок 2 (точка $(3;-1,5)$), кусок 3 не даёт $\Rightarrow N=2\text{.}$
• $-1,5<m⩽0\text{:}$ все три куска $\Rightarrow N=3\text{.}$
• $0<m<2\text{:}$ куски 1 и 3 $\Rightarrow N=2\text{.}$
• $m⩾2\text{:}$ только кусок 3 $\Rightarrow N=1\text{.}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-1,5$ и при $0<m<2\text{.}$

Ответ: $m=-1,5\text{;}$ $0<m<2\text{.}$