Постройте график функции y=cases x^2-4x+5 & при x 1, x+3 & при x<1. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Исследуем каждую часть функции. Правая часть (x 1): y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1 — парабола ветвями вверх с вершиной в точке (2;1). На луче x 1 она начинается в точке (1;2) (при x=1: y=1-4+5=2), убывает до вершины (2;1) и далее возрастает. Значит на этом луче наименьшее значение y=1 достигается при x=2. Левая часть (x<1): y=x+3 — луч прямой. При x 1^- значение стремится к 4 (сама точка (1;4) не входит — выколота), при убывании x значения неограниченно убывают. То есть левая часть даёт все значения y<4. Считаем число пересечений прямой y=m с графиком. Левая часть (x<1): уравнение x+3=m даёт x=m-3; условие x<1 означает m<4. Значит левая часть даёт 1 точку при m<4 и 0 при m 4. Правая часть (x 1): уравнение x^2-4x+5=m, то есть (x-2)^2=m-1, x=2+-sqrt(m-1). Корень x=2+sqrt(m-1) 2 подходит при m 1. Корень x=2-sqrt(m-1) подходит при 2-sqrt(m-1) 1, то есть sqrt(m-1) 1, откуда 1 m 2. Итого для правой части: при m<1 — 0 точек; при m=1 — 1 точка (вершина); при 1<m 2 — 2 точки; при m>2 — 1 точка. Складываем (области x<1 и x1 не пересекаются): | Значение m | Левая часть | Правая часть | Всего | |---|---|---|---| | m<1 | 1 | 0 | 1 | | m=1 | 1 | 1 | 2 | | 1<m 2 | 1 | 2 | 3 | | 2<m<4 | 1 | 1 | 2 | | m=4 | 0 | 1 | 1 | | m>4 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки получаются при m=1 и при 2<m<4. Ответ: m=1 или 2<m<4.

m=1 или 2<m<4