Задача №19663

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4x+5& \text{при }x⩾1,\\ x+3& \text{при }x<1.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Исследуем каждую часть функции.

Правая часть ($x⩾1$): $y=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$ — парабола ветвями вверх с вершиной в точке $(2;1)\text{.}$ На луче $x⩾1$ она начинается в точке $(1;2)$ (при $x=1\text{:}$ $y=1-4+5=2$), убывает до вершины $(2;1)$ и далее возрастает. Значит на этом луче наименьшее значение $y=1$ достигается при $x=2\text{.}$

Левая часть ($x<1$): $y=x+3$ — луч прямой. При $x\to 1^{-}$ значение стремится к $4$ (сама точка $(1;4)$ не входит — выколота), при убывании $x$ значения неограниченно убывают. То есть левая часть даёт все значения $y<4\text{.}$

Считаем число пересечений прямой $y=m$ с графиком.

Левая часть ($x<1$): уравнение $x+3=m$ даёт $x=m-3\text{;}$ условие $x<1$ означает $m<4\text{.}$ Значит левая часть даёт 1 точку при $m<4$ и 0 при $m⩾4\text{.}$

Правая часть ($x⩾1$): уравнение $x^2-4x+5=m\text{,}$ то есть $(x-2{)}^2=m-1\text{,}$ $x=2\pm \sqrt{m-1}\text{.}$

• Корень $x=2+\sqrt{m-1}⩾2$ подходит при $m⩾1\text{.}$
• Корень $x=2-\sqrt{m-1}$ подходит при $2-\sqrt{m-1}⩾1\text{,}$ то есть $\sqrt{m-1}⩽1\text{,}$ откуда $1⩽m⩽2\text{.}$

Итого для правой части: при $m<1$ — $0$ точек; при $m=1$ — $1$ точка (вершина); при $1<m⩽2$ — $2$ точки; при $m>2$ — $1$ точка.

Складываем (области $x<1$ и $x⩾1$ не пересекаются):

Ровно две общие точки получаются при $m=1$ и при $2<m<4\text{.}$

Ответ: $m=1$ или $2<m<4\text{.}$