Постройте график функции y=cases x^(2)+2x+1, & x -2, x+6, & x<-2. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. На промежутке x -2 имеем y=x^(2)+2x+1=(x+1)^(2) — часть параболы с вершиной (-1;0), ветви вверх. Крайняя точка этой части: при x=-2 получаем y=(-2+1)^(2)=1, точка (-2;1) принадлежит графику (закрашена). На отрезке [-2;-1] функция убывает от 1 до 0, при x -1 возрастает от 0 до +inf. На промежутке x<-2 имеем y=x+6 — луч прямой без концевой точки: при x -2^(-) значение y 4, точка (-2;4) выколота. При x<-2 функция принимает все значения y<4, причём каждое ровно один раз. Подсчёт общих точек с прямой y=m. 1) Прямолинейная часть (x<-2, y=x+6) даёт ровно одну общую точку при m<4 и ни одной при m 4. 2) Параболическая часть (x -2, y=(x+1)^(2)). Уравнение (x+1)^(2)=m при m>0 даёт x=-1+-sqrt(m), причём корень x=-1-sqrt(m) подходит лишь при -1-sqrt(m) -2, то есть при m 1, m 1. Значит: - при m<0 — 0 точек; - при m=0 — 1 точка (x=-1); - при 0<m 1 — 2 точки; - при m>1 — 1 точка (x=-1+ m). Суммируем: m<0: 1+0=1; m=0: 1+1=2 — подходит; 0<m 1: 1+2=3; 1<m<4: 1+1=2 — подходит; m 4: 0+1=1. Ровно две общие точки прямая y=m имеет при m=0 и при 1<m<4. Ответ: m=0; 1<m<4.

m = 0; 1 < m < 4