Задача №19659

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x+1,& x⩾-2,\\ x+6,& x<-2.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика.

На промежутке $x⩾-2$ имеем $y=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ — часть параболы с вершиной $(-1;0)\text{,}$ ветви вверх. Крайняя точка этой части: при $x=-2$ получаем $y=(-2+1{)}^2=1\text{,}$ точка $(-2;1)$ принадлежит графику (закрашена). На отрезке $[-2;-1]$ функция убывает от $1$ до $0\text{,}$ при $x⩾-1$ возрастает от $0$ до $+\infty \text{.}$

На промежутке $x<-2$ имеем $y=x+6$ — луч прямой без концевой точки: при $x\to -2^{-}$ значение $y\to 4\text{,}$ точка $(-2;4)$ выколота. При $x<-2$ функция принимает все значения $y<4\text{,}$ причём каждое ровно один раз.

Подсчёт общих точек с прямой $y=m\text{.}$

1) Прямолинейная часть ($x<-2\text{,}$ $y=x+6$) даёт ровно одну общую точку при $m<4$ и ни одной при $m⩾4\text{.}$

2) Параболическая часть ($x⩾-2\text{,}$ $y=(x+1{)}^2$). Уравнение $(x+1{)}^2=m$ при $m>0$ даёт $x=-1\pm \sqrt{m}\text{,}$ причём корень $x=-1-\sqrt{m}$ подходит лишь при $-1-\sqrt{m}⩾-2\text{,}$ то есть при $\sqrt{m}⩽1\text{,}$ $m⩽1\text{.}$ Значит:

• при $m<0$ — $0$ точек;
• при $m=0$ — $1$ точка ($x=-1$);
• при $0<m⩽1$ — $2$ точки;
• при $m>1$ — $1$ точка ($x=-1+\sqrt{m}$).

Суммируем:

• $m<0\text{:}$ $1+0=1\text{;}$
• $m=0\text{:}$ $1+1=2$ — подходит;
• $0<m⩽1\text{:}$ $1+2=3\text{;}$
• $1<m<4\text{:}$ $1+1=2$ — подходит;
• $m⩾4\text{:}$ $0+1=1\text{.}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $1<m<4\text{.}$

Ответ: $m=0\text{;}$ $1<m<4\text{.}$