Задача №19656

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}3x-3,& x<2,\\ -3x+8,5,& 2⩽x⩽3,\\ 3,5x-11,& x>3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

График состоит из трёх кусков линейных функций.

1) $x<2\text{:}$ $y=3x-3\text{.}$ Возрастающий луч. При $x\to 2^{-}$ имеем $y\to 3\text{,}$ но точка $(2;3)$ выколота. Значит эта часть даёт по одной точке для каждого $m<3$ и ни одной при $m⩾3\text{.}$

2) $2⩽x⩽3\text{:}$ $y=-3x+8,5\text{.}$ Убывающий отрезок с концами

$$x=2:y=-6+8,5=2,5,x=3:y=-9+8,5=-0,5.$$

Оба конца включены. Эта часть даёт ровно одну точку при $-0,5⩽m⩽2,5$ и ни одной иначе.

3) $x>3\text{:}$ $y=3,5x-11\text{.}$ Возрастающий луч; при $x\to 3^{+}$ получаем $y\to 3,5\cdot 3-11=-0,5\text{,}$ точка $(3;-0,5)$ выколота. Эта часть даёт одну точку при $m>-0,5$ и ни одной при $m⩽-0,5\text{.}$

Подсчёт числа общих точек прямой $y=m$ с графиком:

• $m<-0,5$ — только куск 1: 1 точка;
• $m=-0,5$ — куск 1 (т.к. $-0,5<3$) и конец отрезка $(3;-0,5)\text{;}$ луч 3 выколот: 2 точки;
• $-0,5<m⩽2,5$ — все три куска: 3 точки;
• $2,5<m<3$ — куски 1 и 3 (отрезок уже не достаёт): 2 точки;
• $m⩾3$ — только куск 3 (точка $(2;3)$ выколота): 1 точка.

Ровно две общие точки получаются при $m=-0,5$ и при $2,5<m<3\text{.}$

Ответ: $m=-0,5\text{;}$ $2,5<m<3\text{.}$