Задача №19650

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $A{A}_1$ и $B{B}_1\text{.}$ Докажите, что углы $B{B}_1{A}_1$ и $BA{A}_1$ равны.

Пусть $A{A}_1$ и $B{B}_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC\text{,}$ то есть $A{A}_1\perp BC$ и $B{B}_1\perp AC\text{.}$

Шаг 1. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB\text{.}$

По условию $\angle A{A}_{1}B=90^{\circ }$ (так как $A{A}_1\perp BC\text{,}$ а точка $B$ лежит на прямой $BC$) и $\angle A{B}_{1}B=90^{\circ }$ (так как $B{B}_1\perp AC\text{,}$ а точка $A$ лежит на прямой $AC$).

Отрезок $AB$ виден из точек $A_1$ и $B_1$ под прямым углом, значит, по свойству угла, опирающегося на диаметр (обратная теорема), обе эти точки лежат на окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре. Обозначим её $\omega \text{;}$ её центр — середина $AB\text{.}$

Шаг 2. Вписанные углы.

Итак, четыре точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $A_1\text{,}$ $B_1$ лежат на одной окружности $\omega \text{.}$ Так как треугольник $ABC$ остроугольный, основания высот $A_1$ и $B_1$ лежат на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно, поэтому точки $A$ и $B_1$ лежат по одну сторону от хорды $B{A}_1\text{.}$

Углы $\angle B{B}_1{A}_1$ и $\angle BA{A}_1$ — вписанные в окружность $\omega$ углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $B{A}_1$ (не содержащую точек $A$ и $B_1$).

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, следовательно

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано (углы $B{B}_1{A}_1$ и $BA{A}_1$ равны как вписанные углы окружности с диаметром $AB\text{,}$ опирающиеся на дугу $B{A}_1$).