В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA_(1) и BB_(1). Докажите, что углы BB_(1)A_(1) и BAA_(1) равны.

Пусть AA_1 и BB_1 — высоты остроугольного треугольника ABC, то есть AA_1 BC и BB_1 AC. Шаг 1. Точки A_1 и B_1 лежат на окружности с диаметром AB. По условию AA_1B = 90^ (так как AA_1 BC, а точка B лежит на прямой BC) и AB_1B = 90^ (так как BB_1 AC, а точка A лежит на прямой AC). Отрезок AB виден из точек A_1 и B_1 под прямым углом, значит, по свойству угла, опирающегося на диаметр (обратная теорема), обе эти точки лежат на окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Обозначим её ; её центр — середина AB. Шаг 2. Вписанные углы. Итак, четыре точки A, B, A_1, B_1 лежат на одной окружности . Так как треугольник ABC остроугольный, основания высот A_1 и B_1 лежат на сторонах BC и AC соответственно, поэтому точки A и B_1 лежат по одну сторону от хорды BA_1. Углы BB_1A_1 и BAA_1 — вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BA_1 (не содержащую точек A и B_1). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, следовательно BB_1A_1 = BAA_1. Что и требовалось доказать. Ответ: доказано (углы BB_1A_1 и BAA_1 равны как вписанные углы окружности с диаметром AB, опирающиеся на дугу BA_1).

Доказательство