Задача №19649

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO=DO\text{.}$

Рассмотрим треугольники $BOP$ и $DOQ\text{.}$

1. $BO=DO$ (доказано выше).
2. $\angle BOP=\angle DOQ$ как вертикальные углы (точки $P\text{,}$ $O\text{,}$ $Q$ лежат на одной прямой, точки $B\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ — на диагонали $BD$).
3. $\angle PBO=\angle QDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB\parallel CD$ и секущей $BD\text{.}$

Значит, треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: $BP=DQ\text{.}$

Ответ: отрезки $BP$ и $DQ$ равны, что и требовалось доказать.