Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому BO = DO. Рассмотрим треугольники BOP и DOQ. BO = DO (доказано выше). BOP = DOQ как вертикальные углы (точки P, O, Q лежат на одной прямой, точки B, O, D — на диагонали BD). PBO = QDO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB CD и секущей BD. Значит, треугольники BOP и DOQ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: BP = DQ. Ответ: отрезки BP и DQ равны, что и требовалось доказать.

Доказано: \(BP = DQ\)