На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD (M — середина боковой стороны AB, N — середина CD), а h — высота трапеции, то есть расстояние между параллельными прямыми AD и BC. Шаг 1. Средняя линия удалена от каждого основания на (h)/(2). По свойству средней линии трапеции MN AD BC. Опустим из точек B и M перпендикуляры BB_1 и MM_1 на прямую AD. Эти перпендикуляры параллельны, поэтому в треугольнике ABB_1 отрезок MM_1 — средняя линия (так как M — середина AB, а MM_1 BB_1). Значит, MM_1 = (1)/(2)BB_1 = (h)/(2). Так как MN AD, все точки прямой MN равноудалены от AD, то есть расстояние от любой точки K in MN до прямой AD равно (h)/(2). Тогда расстояние от K до прямой BC равно h - (h)/(2) = (h)/(2). Шаг 2. Складываем площади. В треугольнике AKD основание AD лежит на прямой AD, а высота, проведённая из K, равна расстоянию от K до этой прямой, то есть (h)/(2). Аналогично для треугольника BKC с основанием BC. Поэтому S_(AKD) = (1)/(2)* AD * (h)/(2), S_(BKC) = (1)/(2)* BC * (h)/(2). Следовательно, S_(BKC) + S_(AKD) = (h)/(4)(AD + BC) = (1)/(2)*(AD + BC)/(2)* h = (1)/(2)S_(ABCD), поскольку площадь трапеции равна S_(ABCD) = (AD + BC)/(2)* h. Заметим, что результат не зависит от выбора точки K на средней линии, что и требовалось доказать. Ответ: утверждение доказано: S_(BKC) + S_(AKD) = (1)/(2)S_(ABCD).

Доказательство