Задача №19643

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K\text{.}$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна половине площади трапеции.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$ ($M$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ $N$ — середина $CD$), а $h$ — высота трапеции, то есть расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC\text{.}$

Шаг 1. Средняя линия удалена от каждого основания на $\frac{h}{2}\text{.}$

По свойству средней линии трапеции $MN\parallel AD\parallel BC\text{.}$ Опустим из точек $B$ и $M$ перпендикуляры $B{B}_1$ и $M{M}_1$ на прямую $AD\text{.}$ Эти перпендикуляры параллельны, поэтому в треугольнике $AB{B}_1$ отрезок $M{M}_1$ — средняя линия (так как $M$ — середина $AB\text{,}$ а $M{M}_1\parallel B{B}_1$). Значит,

Так как $MN\parallel AD\text{,}$ все точки прямой $MN$ равноудалены от $AD\text{,}$ то есть расстояние от любой точки $K\in MN$ до прямой $AD$ равно $\frac{h}{2}\text{.}$ Тогда расстояние от $K$ до прямой $BC$ равно $h-\frac{h}{2}=\frac{h}{2}\text{.}$

Шаг 2. Складываем площади.

В треугольнике $AKD$ основание $AD$ лежит на прямой $AD\text{,}$ а высота, проведённая из $K\text{,}$ равна расстоянию от $K$ до этой прямой, то есть $\frac{h}{2}\text{.}$ Аналогично для треугольника $BKC$ с основанием $BC\text{.}$ Поэтому

Следовательно,

поскольку площадь трапеции равна $S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h\text{.}$

Заметим, что результат не зависит от выбора точки $K$ на средней линии, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано: $S_{BKC}+S_{AKD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}\text{.}$