Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

Дано: окружности с центрами M и N пересекаются в точках S и T; точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Доказать: MN ST. Доказательство. Точки S и T лежат на окружности с центром M, значит MS и MT — радиусы этой окружности, поэтому MS = MT. Значит, точка M равноудалена от концов отрезка ST. Аналогично точки S и T лежат на окружности с центром N, поэтому NS и NT — радиусы второй окружности и NS = NT, то есть точка N также равноудалена от концов отрезка ST. По свойству серединного перпендикуляра множество точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, обе точки M и N лежат на серединном перпендикуляре к отрезку ST. Точки M и N различны: если бы центры совпали, окружности были бы концентрическими и не могли бы пересекаться в двух точках. Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая MN и есть серединный перпендикуляр к отрезку ST. Серединный перпендикуляр к отрезку ST перпендикулярен прямой ST, значит MN ST. (Замечание: условие о том, что M и N лежат по одну сторону от прямой ST, задаёт лишь взаимное расположение окружностей и на ход доказательства не влияет.) Ответ: прямые MN и ST перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Доказательство