Задача №19639

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T\text{,}$ причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST\text{.}$ Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.

Дано: окружности с центрами $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T\text{;}$ точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST\text{.}$

Доказать: $MN\perp ST\text{.}$

Доказательство.

1. Точки $S$ и $T$ лежат на окружности с центром $M\text{,}$ значит $MS$ и $MT$ — радиусы этой окружности, поэтому

Значит, точка $M$ равноудалена от концов отрезка $ST\text{.}$

2. Аналогично точки $S$ и $T$ лежат на окружности с центром $N\text{,}$ поэтому $NS$ и $NT$ — радиусы второй окружности и

то есть точка $N$ также равноудалена от концов отрезка $ST\text{.}$

3. По свойству серединного перпендикуляра множество точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, обе точки $M$ и $N$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $ST\text{.}$

4. Точки $M$ и $N$ различны: если бы центры совпали, окружности были бы концентрическими и не могли бы пересекаться в двух точках. Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $MN$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $ST\text{.}$

5. Серединный перпендикуляр к отрезку $ST$ перпендикулярен прямой $ST\text{,}$ значит

(Замечание: условие о том, что $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST\text{,}$ задаёт лишь взаимное расположение окружностей и на ход доказательства не влияет.)

Ответ: прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.