Задача №19632

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются
в точке $O\text{.}$ Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD\text{.}$ У них общее основание $AD\text{,}$ а вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $BC\text{,}$ параллельной $AD$ (так как $AD$ и $BC$ — основания трапеции).

Значит, расстояния от точек $B$ и $C$ до прямой $AD$ равны и равны высоте $h$ трапеции. Поэтому высоты треугольников $ABD$ и $ACD\text{,}$ проведённые к общему основанию $AD\text{,}$ равны, и

Диагонали пересекаются в точке $O\text{,}$ поэтому точка $O$ лежит внутри трапеции на обеих диагоналях, и треугольник $AOD$ является общей частью треугольников $ABD$ и $ACD\text{:}$

• $S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD}\text{,}$
• $S_{ACD}=S_{COD}+S_{AOD}\text{.}$

Вычитая из равенства $S_{ABD}=S_{ACD}$ общую площадь $S_{AOD}\text{,}$ получаем

Ответ: площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, что и требовалось доказать.