В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них общее основание AD, а вершины B и C лежат на прямой BC, параллельной AD (так как AD и BC — основания трапеции). Значит, расстояния от точек B и C до прямой AD равны и равны высоте h трапеции. Поэтому высоты треугольников ABD и ACD, проведённые к общему основанию AD, равны, и S_(ABD)=(1)/(2)* AD* h=S_(ACD). Диагонали пересекаются в точке O, поэтому точка O лежит внутри трапеции на обеих диагоналях, и треугольник AOD является общей частью треугольников ABD и ACD: S_(ABD)=S_(AOB)+S_(AOD), S_(ACD)=S_(COD)+S_(AOD). Вычитая из равенства S_(ABD)=S_(ACD) общую площадь S_(AOD), получаем S_(AOB)=S_(ABD)-S_(AOD)=S_(ACD)-S_(AOD)=S_(COD). Ответ: площади треугольников AOB и COD равны, что и требовалось доказать.

Доказательство