Задача №19630

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $B{B}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ Докажите, что треугольники $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ подобны.

Расположение оснований высот.

Угол $BAC$ тупой, поэтому основание высоты $B{B}_1\text{,}$ опущенной из вершины $B$ на прямую $AC\text{,}$ лежит вне отрезка $AC$ — на продолжении стороны $CA$ за точку $A\text{.}$ Аналогично основание высоты $C{C}_1$ лежит на продолжении стороны $BA$ за точку $A\text{.}$

Значит, луч $A{B}_1$ дополнителен к лучу $AC\text{,}$ а луч $A{C}_1$ дополнителен к лучу $AB\text{.}$

Шаг 1. Вспомогательное подобие прямоугольных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AB{B}_1$ (прямой угол при $B_1$) и $AC{C}_1$ (прямой угол при $C_1$).

Угол $B_{1}AB$ — смежный с углом $BAC\text{,}$ поэтому $\angle B_{1}AB=180^{\circ }-\angle BAC\text{.}$ Точно так же угол $C_{1}AC$ смежный с углом $BAC\text{,}$ поэтому $\angle C_{1}AC=180^{\circ }-\angle BAC\text{.}$

Следовательно, $\angle B_{1}AB=\angle C_{1}AC\text{,}$ и прямоугольные треугольники $AB{B}_1$ и $AC{C}_1$ подобны по двум углам (прямой угол и равный острый угол при вершине $A$).

Шаг 2. Пропорциональность сторон.

Из подобия $△A{B}_{1}B\sim △A{C}_{1}C$ получаем соответствие катетов и гипотенуз:

Шаг 3. Равенство углов при вершине $A\text{.}$

Луч $A{B}_1$ дополнителен к лучу $AC\text{,}$ а луч $A{C}_1$ дополнителен к лучу $AB\text{,}$ поэтому углы $B_{1}A{C}_1$ и $CAB$ — вертикальные, а значит

Шаг 4. Вывод.

В треугольниках $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ углы при общей вершине $A$ равны, а заключающие их стороны пропорциональны: $\frac{A{B}_1}{AB}=\frac{A{C}_1}{AC}\text{.}$

По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

(соответствие вершин $A\to A\text{,}$ $B_1\to B\text{,}$ $C_1\to C$), причём коэффициент подобия равен $\frac{A{B}_1}{AB}=\left|\cos \angle BAC\right|\text{.}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.