В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB_1 и CC_1. Докажите, что треугольники AB_1C_1 и ABC подобны.

Расположение оснований высот. Угол BAC тупой, поэтому основание высоты BB_1, опущенной из вершины B на прямую AC, лежит вне отрезка AC — на продолжении стороны CA за точку A. Аналогично основание высоты CC_1 лежит на продолжении стороны BA за точку A. Значит, луч AB_1 дополнителен к лучу AC, а луч AC_1 дополнителен к лучу AB. Шаг 1. Вспомогательное подобие прямоугольных треугольников. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABB_1 (прямой угол при B_1) и ACC_1 (прямой угол при C_1). Угол B_1AB — смежный с углом BAC, поэтому B_1AB = 180^ - BAC. Точно так же угол C_1AC смежный с углом BAC, поэтому C_1AC = 180^ - BAC. Следовательно, B_1AB = C_1AC, и прямоугольные треугольники ABB_1 и ACC_1 подобны по двум углам (прямой угол и равный острый угол при вершине A). Шаг 2. Пропорциональность сторон. Из подобия AB_1B AC_1C получаем соответствие катетов и гипотенуз: (AB_1)/(AB) = (AC_1)/(AC). Шаг 3. Равенство углов при вершине A. Луч AB_1 дополнителен к лучу AC, а луч AC_1 дополнителен к лучу AB, поэтому углы B_1AC_1 и CAB — вертикальные, а значит B_1AC_1 = BAC. Шаг 4. Вывод. В треугольниках AB_1C_1 и ABC углы при общей вершине A равны, а заключающие их стороны пропорциональны: (AB_1)/(AB) = (AC_1)/(AC). По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними AB_1C_1 ABC (соответствие вершин A A, B_1 B, C_1 C), причём коэффициент подобия равен (AB_1)/(AB) = |cos BAC|. Что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

Доказательство