В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA_1 и CC_1. Докажите, что треугольники A_1BC_1 и ABC подобны.

Расположение оснований высот. Угол ABC тупой, поэтому смежные с ним углы острые, а основания высот, проведённых из вершин A и C, попадают на продолжения сторон за вершину B: точка A_1 лежит на продолжении стороны CB за точку B, а точка C_1 — на продолжении стороны AB за точку B. Шаг 1. Два подобных прямоугольных треугольника. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABA_1 (прямой угол при вершине A_1) и CBC_1 (прямой угол при вершине C_1). Угол ABA_1 — смежный с углом ABC (так как A_1 лежит на продолжении CB), значит ABA_1 = 180^ - ABC. Угол CBC_1 — тоже смежный с углом ABC (так как C_1 лежит на продолжении AB), значит CBC_1 = 180^ - ABC. Следовательно, ABA_1 = CBC_1. Прямоугольные треугольники ABA_1 и CBC_1 имеют по равному острому углу при вершине B, поэтому они подобны: ABA_1 CBC_1 . Шаг 2. Пропорциональность сторон. Из подобия (соответствие A C, B B, A_1 C_1) получаем (BA_1)/(BC_1) = (BA)/(BC), откуда, переставив члены пропорции, (BA_1)/(BA) = (BC_1)/(BC). Шаг 3. Равенство углов между этими сторонами. Луч BA_1 — дополнительный к лучу BC, а луч BC_1 — дополнительный к лучу BA. Значит, углы A_1BC_1 и ABC вертикальные, и потому A_1BC_1 = ABC . Шаг 4. Вывод. В треугольниках A_1BC_1 и ABC стороны, прилежащие к вершине B, пропорциональны ((BA_1)/(BA) = (BC_1)/(BC)), а углы между ними равны ( A_1BC_1 = ABC). По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними) A_1BC_1 ABC . Ответ: доказано: A_1BC_1 ABC (коэффициент подобия равен (BA_1)/(BA) = |cos ABC|).

Доказательство