Задача №19625

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $A{A}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ Докажите, что треугольники $A_{1}B{C}_1$ и $ABC$ подобны.

Расположение оснований высот.

Угол $ABC$ тупой, поэтому смежные с ним углы острые, а основания высот, проведённых из вершин $A$ и $C\text{,}$ попадают на продолжения сторон за вершину $B\text{:}$ точка $A_1$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B\text{,}$ а точка $C_1$ — на продолжении стороны $AB$ за точку $B\text{.}$

Шаг 1. Два подобных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AB{A}_1$ (прямой угол при вершине $A_1$) и $CB{C}_1$ (прямой угол при вершине $C_1$).

Угол $AB{A}_1$ — смежный с углом $ABC$ (так как $A_1$ лежит на продолжении $CB$), значит $\angle AB{A}_1=180^{\circ }-\angle ABC\text{.}$

Угол $CB{C}_1$ — тоже смежный с углом $ABC$ (так как $C_1$ лежит на продолжении $AB$), значит $\angle CB{C}_1=180^{\circ }-\angle ABC\text{.}$

Следовательно, $\angle AB{A}_1=\angle CB{C}_1\text{.}$

Прямоугольные треугольники $AB{A}_1$ и $CB{C}_1$ имеют по равному острому углу при вершине $B\text{,}$ поэтому они подобны:

Шаг 2. Пропорциональность сторон.

Из подобия (соответствие $A\leftrightarrow C\text{,}$ $B\leftrightarrow B\text{,}$ $A_1\leftrightarrow C_1$) получаем

откуда, переставив члены пропорции,

Шаг 3. Равенство углов между этими сторонами.

Луч $B{A}_1$ — дополнительный к лучу $BC\text{,}$ а луч $B{C}_1$ — дополнительный к лучу $BA\text{.}$ Значит, углы $A_{1}B{C}_1$ и $ABC$ вертикальные, и потому

Шаг 4. Вывод.

В треугольниках $A_{1}B{C}_1$ и $ABC$ стороны, прилежащие к вершине $B\text{,}$ пропорциональны ($\frac{B{A}_1}{BA}=\frac{B{C}_1}{BC}$), а углы между ними равны ($\angle A_{1}B{C}_1=\angle ABC$). По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними)

Ответ: доказано: $△A_{1}B{C}_1\sim △ABC$ (коэффициент подобия равен $\frac{B{A}_1}{BA}=|\cos \angle ABC|$).