Постройте график функции y=cases x^(2)+4x-1, & при x -4,[2pt] x, & при x<-4. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. Функция задана кусочно: y=cases x^(2)+4x-1, & x -4,[2pt] x, & x<-4. cases Ветвь 1 (парабола), x -4. Выделим полный квадрат: x^(2)+4x-1=(x+2)^(2)-5. Это парабола ветвями вверх с вершиной (-2;-5). Вершина лежит в области x -4, поэтому наименьшее значение ветви равно -5. Крайняя точка ветви при x=-4: y=16-16-1=-1, то есть точка (-4;-1) принадлежит графику (закрашена). При x от -4 до -2 парабола убывает от -1 до -5, затем неограниченно возрастает. Ветвь 2 (прямая), x<-4. Это часть прямой y=x при x<-4, то есть значения y<-4. Точка (-4;-4) выколота (не входит, так как x<-4). Ветвь уходит вниз до -inf. Между ветвями — разрыв: правая ветвь начинается в (-4;-1), левая подходит к выколотой точке (-4;-4). Пересечения с прямой y=m. Считаем число общих точек. Прямая y=x, x<-4 даёт ровно одну точку при m<-4 и ни одной при m -4. Парабола (x+2)^(2)-5=m, x -4. Отсюда (x+2)^(2)=m+5, x=-2+-sqrt(m+5). При m<-5 — нет корней. При m=-5 — один корень x=-2 (вершина). Левый корень x=-2-sqrt(m+5) -4 равносилен sqrt(m+5) 2, то есть m -1. Значит при -5<m -1 оба корня попадают в область x -4 — две точки; при m>-1 левый корень отсекается — одна точка. Сводим по промежуткам m: | m | прямая | парабола | всего | |---|---|---|---| | m<-5 | 1 | 0 | 1 | | m=-5 | 1 | 1 | 2 | | -5<m<-4 | 1 | 2 | 3 | | -4 m -1 | 0 | 2 | 2 | | m>-1 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки прямая y=m имеет с графиком при m=-5 и при -4 m -1. Ответ: m=-5 или -4 m -1.

m = -5 или -4 ⩽ m ⩽ -1