Постройте график функции
y={x2+4x−1,x,при x⩾−4,при x<−4.Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Построение графика. Функция задана кусочно:
y={x2+4x−1,x,x⩾−4,x<−4.Ветвь 1 (парабола), x⩾−4. Выделим полный квадрат:
x2+4x−1=(x+2)2−5.Это парабола ветвями вверх с вершиной (−2;−5). Вершина лежит в области x⩾−4, поэтому наименьшее значение ветви равно −5. Крайняя точка ветви при x=−4: y=16−16−1=−1, то есть точка (−4;−1) принадлежит графику (закрашена). При x от −4 до −2 парабола убывает от −1 до −5, затем неограниченно возрастает.
Ветвь 2 (прямая), x<−4. Это часть прямой y=x при x<−4, то есть значения y<−4. Точка (−4;−4) выколота (не входит, так как x<−4). Ветвь уходит вниз до −∞.
Между ветвями — разрыв: правая ветвь начинается в (−4;−1), левая подходит к выколотой точке (−4;−4).
Пересечения с прямой y=m. Считаем число общих точек.
Прямая y=x, x<−4 даёт ровно одну точку при m<−4 и ни одной при m⩾−4.
Парабола (x+2)2−5=m, x⩾−4. Отсюда (x+2)2=m+5, x=−2±m+5.
Сводим по промежуткам m:
| m | прямая | парабола | всего |
|---|---|---|---|
| m<−5 | 1 | 0 | 1 |
| m=−5 | 1 | 1 | 2 |
| −5<m<−4 | 1 | 2 | 3 |
| −4⩽m⩽−1 | 0 | 2 | 2 |
| m>−1 | 0 | 1 | 1 |
Ровно две общие точки прямая y=m имеет с графиком при m=−5 и при −4⩽m⩽−1.
Ответ: m=−5 или −4⩽m⩽−1.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Функции и начала анализа
ФИПИ