В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, диагонали AC и BD пересекаются в точке P. Доказать: S_(APB) = S_(CPD). Решение. Рассмотрим треугольники ABC и DBC. У них общая сторона BC, которую примем за основание. Вершины A и D лежат на прямой AD, а по условию AD BC. Значит, расстояние от точки A до прямой BC равно расстоянию от точки D до прямой BC (это расстояние между параллельными прямыми AD и BC, то есть высота трапеции h). Следовательно, у треугольников ABC и DBC равны основания и равны высоты, проведённые к этим основаниям: S_(ABC) = (1)/(2)* BC * h = S_(DBC). Точка P — точка пересечения диагоналей — лежит внутри трапеции, причём P in AC и P in BD. Поэтому треугольник ABC разбивается отрезком BP на треугольники APB и BPC, а треугольник DBC разбивается отрезком CP на треугольники DPC и BPC: S_(ABC) = S_(APB) + S_(BPC), S_(DBC) = S_(CPD) + S_(BPC). Подставим эти равенства в равенство из пункта 3: S_(APB) + S_(BPC) = S_(CPD) + S_(BPC). Вычитая из обеих частей площадь общего треугольника BPC, получаем S_(APB) = S_(CPD), что и требовалось доказать. Ответ: доказано. Доказательство: треугольники ABC и DBC имеют общее основание BC и равные высоты (так как AD BC), поэтому S_(ABC) = S_(DBC); вычитая из обеих частей площадь общего треугольника BPC, получаем S_(APB) = S_(CPD).

Доказательство