Задача №19592

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются
в точке $P\text{.}$ Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.

Дано: $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P\text{.}$

Доказать: $S_{APB}=S_{CPD}\text{.}$

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC\text{.}$ У них общая сторона $BC\text{,}$ которую примем за основание.

2. Вершины $A$ и $D$ лежат на прямой $AD\text{,}$ а по условию $AD\parallel BC\text{.}$ Значит, расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно расстоянию от точки $D$ до прямой $BC$ (это расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC\text{,}$ то есть высота трапеции $h$).

3. Следовательно, у треугольников $ABC$ и $DBC$ равны основания и равны высоты, проведённые к этим основаниям:

4. Точка $P$ — точка пересечения диагоналей — лежит внутри трапеции, причём $P\in AC$ и $P\in BD\text{.}$ Поэтому треугольник $ABC$ разбивается отрезком $BP$ на треугольники $APB$ и $BPC\text{,}$ а треугольник $DBC$ разбивается отрезком $CP$ на треугольники $DPC$ и $BPC\text{:}$

5. Подставим эти равенства в равенство из пункта 3:

6. Вычитая из обеих частей площадь общего треугольника $BPC\text{,}$ получаем

что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Доказательство: треугольники $ABC$ и $DBC$ имеют общее основание $BC$ и равные высоты (так как $AD\parallel BC$), поэтому $S_{ABC}=S_{DBC}\text{;}$ вычитая из обеих частей площадь общего треугольника $BPC\text{,}$ получаем $S_{APB}=S_{CPD}\text{.}$