Задача №19577

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 8, а $\tan \angle BCA=0,75\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Значит $OC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при $O$) угол $BCA=\angle BCO\text{,}$ поэтому

$$\tan \angle BCA=\frac{BO}{OC}=0,75.$$

Отсюда $BO=OC\cdot 0,75=4\cdot 0,75=3\text{,}$ и вторая диагональ $BD=2\cdot BO=6\text{.}$

Площадь ромба через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24.$$

Ответ: $24\text{.}$