Задача №19575

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.

Дано: выпуклый четырёхугольник $ABCD\text{,}$ причём $\angle ABD=\angle ACD\text{.}$

Доказать: $\angle DAC=\angle DBC\text{.}$

Решение.

1. Рассмотрим отрезок $AD\text{.}$ Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ — это углы, под которыми отрезок $AD$ виден из точек $B$ и $C$ соответственно.

2. Так как четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD\text{.}$ По условию из этих точек отрезок $AD$ виден под равными углами: $\angle ABD=\angle ACD\text{.}$

3. По обратной теореме о вписанном угле (свойство геометрического места точек): если две точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от отрезка $AD$ и видят его под равными углами, то точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности. Значит, около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность — он вписанный.

4. Теперь рассмотрим в этой окружности хорду $DC\text{.}$ Углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $DC\text{,}$ а их вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $DC$ (в силу выпуклости), то есть опираются на одну и ту же дугу $DC\text{.}$

5. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому $\angle DAC=\angle DBC\text{.}$

Ответ: равенство $\angle DAC=\angle DBC$ доказано, что и требовалось доказать.

Доказательство (что и требовалось доказать)