В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Дано: выпуклый четырёхугольник ABCD, причём ABD = ACD. Доказать: DAC = DBC. Решение. Рассмотрим отрезок AD. Углы ABD и ACD — это углы, под которыми отрезок AD виден из точек B и C соответственно. Так как четырёхугольник ABCD выпуклый, вершины B и C лежат по одну сторону от прямой AD. По условию из этих точек отрезок AD виден под равными углами: ABD = ACD. По обратной теореме о вписанном угле (свойство геометрического места точек): если две точки B и C лежат по одну сторону от отрезка AD и видят его под равными углами, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности. Значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность — он вписанный. Теперь рассмотрим в этой окружности хорду DC. Углы DAC и DBC — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду DC, а их вершины A и B лежат по одну сторону от прямой DC (в силу выпуклости), то есть опираются на одну и ту же дугу DC. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому DAC = DBC. Ответ: равенство DAC = DBC доказано, что и требовалось доказать. Доказательство (что и требовалось доказать)

Доказательство