Задача №19568

Биссектрисы углов $A$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M\text{,}$ лежащей на стороне $BC\text{.}$ Докажите, что точка $M$ равноудалена от прямых $AB\text{,}$ $AD$ и $CD\text{.}$

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от прямых, содержащих его стороны (и обратно).

Шаг 1. Расстояния до прямых $AB$ и $AD\text{.}$

Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$ четырёхугольника, то есть угла $BAD\text{,}$ стороны которого лежат на прямых $AB$ и $AD\text{.}$ Опустим из $M$ перпендикуляры $MP\perp AB$ и $MQ\perp AD\text{.}$ Прямоугольные треугольники $APM$ и $AQM$ имеют общую гипотенузу $AM$ и равные острые углы $\angle PAM=\angle QAM$ (так как $AM$ — биссектриса), значит они равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда

то есть $M$ равноудалена от прямых $AB$ и $AD\text{.}$

Шаг 2. Расстояния до прямых $AD$ и $CD\text{.}$

Точка $M$ лежит также на биссектрисе угла $D\text{,}$ то есть угла $ADC\text{,}$ стороны которого лежат на прямых $DA$ и $DC\text{.}$ Опустим перпендикуляры $MQ\perp AD$ и $MR\perp CD\text{.}$ Аналогично прямоугольные треугольники $DQM$ и $DRM$ равны по гипотенузе $DM$ и равным острым углам $\angle QDM=\angle RDM\text{,}$ поэтому

Шаг 3. Вывод.

Из двух полученных равенств

то есть расстояния от точки $M$ до прямых $AB\text{,}$ $AD$ и $CD$ равны. Значит, точка $M$ равноудалена от этих трёх прямых, что и требовалось доказать.

(Замечание: условие «точка $M$ лежит на стороне $BC$» гарантирует, что биссектрисы углов $A$ и $D$ действительно пересекаются внутри четырёхугольника; на само доказательство равенства расстояний оно не влияет.)

Ответ: доказано: $MP=MQ=MR\text{.}$

Доказательство: M лежит на биссектрисе угла A, значит равноудалена от прямых AB и AD; M лежит на биссектрисе угла D, значит равноудалена от прямых AD и CD. Следовательно расстояния до AB, AD и CD равны.