Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от прямых, содержащих его стороны (и обратно). Шаг 1. Расстояния до прямых AB и AD. Точка M лежит на биссектрисе угла A четырёхугольника, то есть угла BAD, стороны которого лежат на прямых AB и AD. Опустим из M перпендикуляры MP AB и MQ AD. Прямоугольные треугольники APM и AQM имеют общую гипотенузу AM и равные острые углы PAM = QAM (так как AM — биссектриса), значит они равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда MP = MQ, то есть M равноудалена от прямых AB и AD. Шаг 2. Расстояния до прямых AD и CD. Точка M лежит также на биссектрисе угла D, то есть угла ADC, стороны которого лежат на прямых DA и DC. Опустим перпендикуляры MQ AD и MR CD. Аналогично прямоугольные треугольники DQM и DRM равны по гипотенузе DM и равным острым углам QDM = RDM, поэтому MQ = MR. Шаг 3. Вывод. Из двух полученных равенств MP = MQ = MR, то есть расстояния от точки M до прямых AB, AD и CD равны. Значит, точка M равноудалена от этих трёх прямых, что и требовалось доказать. (Замечание: условие «точка M лежит на стороне BC» гарантирует, что биссектрисы углов A и D действительно пересекаются внутри четырёхугольника; на само доказательство равенства расстояний оно не влияет.) Ответ: доказано: MP = MQ = MR. Доказательство: M лежит на биссектрисе угла A, значит равноудалена от прямых AB и AD; M лежит на биссектрисе угла D, значит равноудалена от прямых AD и CD. Следовательно расстояния до AB, AD и CD равны.

Доказательство