Постройте график функции y=cases x^2-6x+6, & при x 2, x-3, & при x<2.cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Функция задана на двух промежутках: y=cases x^2-6x+6, & x 2, x-3, & x<2.cases Ветвь-парабола (x 2). Выделим полный квадрат: x^2-6x+6=(x-3)^2-3. Вершина в точке (3;-3), ветви вверх. На границе x=2 значение y=2^2-6*2+6=-2 (точка (2;-2) входит в график). При x 2 функция сначала убывает от (2;-2) до вершины (3;-3), затем возрастает до +inf. Ветвь-луч (x<2). Прямая y=x-3; при x 2^- значение y -1 (точка (2;-1) не входит — выколота). Значит этот кусок покрывает все yin(-inf;-1). Сколько общих точек даёт y=m на каждой ветви. Луч: горизонталь y=m пересекает его ровно один раз при m<-1 и ни разу при m -1. Парабола: решаем (x-3)^2-3=m, то есть x=3+-sqrt(3+m) (при m -3). Условие x 2: корень 3+sqrt(3+m) 2 выполнен всегда (при m -3); корень 3-sqrt(3+m) 2(3+m) 1 m -2. Отсюда число точек на параболе: 0 при m<-3; 1 при m=-3 (вершина); 2 при -3<m -2; 1 при m>-2. Складываем (луч + парабола): | Значение m | луч | парабола | всего | |---|---|---|---| | m<-3 | 1 | 0 | 1 | | m=-3 | 1 | 1 | 2 | | -3<m -2 | 1 | 2 | 3 | | -2<m<-1 | 1 | 1 | 2 | | m -1 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки прямая y=m имеет при m=-3 и при -2<m<-1. Ответ: m=-3 и -2<m<-1.

m = -3; -2 < m < -1