Задача №19560

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x+6,& \text{при }x⩾2,\\ x-3,& \text{при }x<2.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Функция задана на двух промежутках:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x+6,& x⩾2,\\ x-3,& x<2.\end{array}$$

Ветвь-парабола ($x⩾2$). Выделим полный квадрат: $x^2-6x+6=(x-3{)}^2-3\text{.}$ Вершина в точке $(3;-3)\text{,}$ ветви вверх. На границе $x=2$ значение $y=2^2-6\cdot 2+6=-2$ (точка $(2;-2)$ входит в график). При $x⩾2$ функция сначала убывает от $(2;-2)$ до вершины $(3;-3)\text{,}$ затем возрастает до $+\infty \text{.}$

Ветвь-луч ($x<2$). Прямая $y=x-3\text{;}$ при $x\to 2^{-}$ значение $y\to -1$ (точка $(2;-1)$ не входит — выколота). Значит этот кусок покрывает все $y\in (-\infty ;-1)\text{.}$

Сколько общих точек даёт $y=m$ на каждой ветви.

Луч: горизонталь $y=m$ пересекает его ровно один раз при $m<-1$ и ни разу при $m⩾-1\text{.}$

Парабола: решаем $(x-3{)}^2-3=m\text{,}$ то есть $x=3\pm \sqrt{3+m}$ (при $m⩾-3$). Условие $x⩾2\text{:}$

• корень $3+\sqrt{3+m}⩾2$ выполнен всегда (при $m⩾-3$);
• корень $3-\sqrt{3+m}⩾2⟺\sqrt{3+m}⩽1⟺m⩽-2\text{.}$

Отсюда число точек на параболе: $0$ при $m<-3\text{;}$ $1$ при $m=-3$ (вершина); $2$ при $-3<m⩽-2\text{;}$ $1$ при $m>-2\text{.}$

Складываем (луч + парабола):

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-3$ и при $-2<m<-1\text{.}$

Ответ: $m=-3$ и $-2<m<-1\text{.}$