Задача №19559

Укажите решение неравенства

$4x-x^2<0\text{.}$

1) $(-\infty ;0)\cup (4;+\infty )$

2) $(0;+\infty )$

3) $(0;4)$

4) $(4;+\infty )$

Решим неравенство $4x-x^2<0\text{.}$

Шаг 1. Вынесем общий множитель: $4x-x^2=x(4-x)\text{,}$ значит неравенство равносильно $x(4-x)<0\text{.}$

Шаг 2. Умножим обе части на $-1$ (знак меняется): $x(x-4)>0\text{.}$

Шаг 3. Нули левой части: $x=0$ и $x=4\text{.}$ Парабола $y=x^2-4x$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне отрезка между корнями:

$$x<0\text{или}x>4.$$

Таким образом, решение — $(-\infty ;0)\cup (4;+\infty )\text{.}$

Проверка. При $x=-1\text{:}$ $4\cdot (-1)-(-1{)}^2=-5<0$ — верно. При $x=5\text{:}$ $20-25=-5<0$ — верно. При $x=2\text{:}$ $8-4=4>0$ — не входит.

Это вариант 1.

Ответ: 1.