Задача №19557

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD\text{.}$
Точка $L$ — середина стороны $AB\text{.}$ Докажите, что $DL$ — биссектриса
угла $ADC\text{.}$

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AB=2AD\text{,}$ точка $L$ — середина стороны $AB\text{.}$

Доказать: $DL$ — биссектриса угла $ADC\text{.}$

Решение.

1. Так как $L$ — середина $AB\text{,}$ то $AL=\frac{1}{2}AB\text{.}$ По условию $AB=2AD\text{,}$ значит

2. Следовательно, треугольник $ALD$ — равнобедренный с основанием $LD\text{.}$ По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны:

3. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $AB\parallel DC\text{.}$ Прямая $DL$ — секущая для этих параллельных прямых, а углы $\angle ALD$ и $\angle LDC$ — накрест лежащие, поэтому

4. Из пунктов 2 и 3 получаем

то есть луч $DL$ делит угол $ADC$ на два равных угла. Луч $DL$ проходит внутри угла $ADC\text{,}$ поскольку точка $L$ лежит на стороне $AB$ параллелограмма, то есть внутри угла $ADC$ по отношению к его сторонам $DA$ и $DC\text{.}$

Значит, $DL$ — биссектриса угла $ADC\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.