В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

Рассмотрим отрезок CD как хорду. По условию углы DAC и DBC равны, причём вершины A и B лежат по одну сторону от прямой CD (четырёхугольник ABCD выпуклый, поэтому обе эти вершины находятся в одной полуплоскости относительно стороны CD). Геометрическое место точек, из которых данный отрезок CD виден под одним и тем же углом и которые лежат по одну сторону от прямой CD, есть дуга окружности, проходящей через концы C и D. Так как DAC = DBC, точки A и B лежат на одной такой дуге, то есть точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Иначе говоря, DAC и DBC — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу DC; их равенство означает, что A и B лежат на окружности, описанной около DCB. Значит, четырёхугольник ABCD — вписанный. Теперь рассмотрим в этой окружности хорду CB. Углы CDB и CAB — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CB (вершины D и A лежат по одну сторону от прямой CB, так как четырёхугольник выпуклый). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому CDB = CAB. Ответ: углы CDB и CAB равны, что и требовалось доказать.

Доказательство