Задача №19554

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.

Рассмотрим отрезок $CD$ как хорду. По условию углы $DAC$ и $DBC$ равны, причём вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$ (четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, поэтому обе эти вершины находятся в одной полуплоскости относительно стороны $CD$).

Геометрическое место точек, из которых данный отрезок $CD$ виден под одним и тем же углом и которые лежат по одну сторону от прямой $CD\text{,}$ есть дуга окружности, проходящей через концы $C$ и $D\text{.}$ Так как $\angle DAC=\angle DBC\text{,}$ точки $A$ и $B$ лежат на одной такой дуге, то есть точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ лежат на одной окружности.

Иначе говоря, $\angle DAC$ и $\angle DBC$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $DC\text{;}$ их равенство означает, что $A$ и $B$ лежат на окружности, описанной около $△DCB\text{.}$ Значит, четырёхугольник $ABCD$ — вписанный.

Теперь рассмотрим в этой окружности хорду $CB\text{.}$ Углы $CDB$ и $CAB$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CB$ (вершины $D$ и $A$ лежат по одну сторону от прямой $CB\text{,}$ так как четырёхугольник выпуклый). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому

Ответ: углы $CDB$ и $CAB$ равны, что и требовалось доказать.