Постройте график функции y=cases 2,5x-3,5, & x<2, -3x+7,5, & 2 x 3, x-6, & x>3. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. График состоит из трёх кусков прямых. При x<2: y=2,5x-3,5 — луч возрастающей прямой. При x 2^- значение стремится к 2,5* 2-3,5=1,5 (точка (2;1,5) не принадлежит этому куску). Значения на этом куске: y<1,5, причём каждое значение y<1,5 достигается ровно один раз. При 2 x 3: y=-3x+7,5 — отрезок с концами (2;-3*2+7,5)=(2;1,5) и (3;-3*3+7,5)=(3;-1,5). Функция убывает, значения заполняют отрезок [-1,5;1,5], каждое ровно один раз. В точке x=2 график непрерывен (обе формулы дают 1,5). При x>3: y=x-6 — луч возрастающей прямой без концевой точки: при x 3^+ значение стремится к -3, значит значения этого куска — y>-3, каждое ровно один раз. В точке x=3 график имеет разрыв: слева значение -1,5, справа значения близки к -3. Число общих точек с прямой y=m. Подсчитаем, сколько корней даёт каждый кусок при данном m: кусок 1 даёт корень x=(m+3,5)/(2,5), и условие x<2 равносильно m<1,5; кусок 2 даёт корень x=(7,5-m)/(3), и условие 2 x 3 равносильно -1,5 m 1,5; кусок 3 даёт корень x=m+6, и условие x>3 равносильно m>-3. Разберём случаи: m>1,5: только кусок 3 — 1 точка; m=1,5: куски 2 и 3 — 2 точки; -1,5 m<1,5: все три куска — 3 точки; -3<m<-1,5: куски 1 и 3 — 2 точки; m=-3: только кусок 1 — 1 точка; m<-3: только кусок 1 — 1 точка. Ровно две общие точки получаются при m=1,5 и при -3<m<-1,5. Ответ: m=1,5; -3<m<-1,5.

m = 1,5; -3 < m < -1,5