Задача №19545

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}2,5x-3,5,& x<2,\\ -3x+7,5,& 2⩽x⩽3,\\ x-6,& x>3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика.

График состоит из трёх кусков прямых.

1. При $x<2\text{:}$ $y=2,5x-3,5$ — луч возрастающей прямой. При $x\to 2^{-}$ значение стремится к $2,5\cdot 2-3,5=1,5$ (точка $(2;1,5)$ не принадлежит этому куску). Значения на этом куске: $y<1,5\text{,}$ причём каждое значение $y<1,5$ достигается ровно один раз.

2. При $2⩽x⩽3\text{:}$ $y=-3x+7,5$ — отрезок с концами $(2;-3\cdot 2+7,5)=(2;1,5)$ и $(3;-3\cdot 3+7,5)=(3;-1,5)\text{.}$ Функция убывает, значения заполняют отрезок $[-1,5;1,5]\text{,}$ каждое ровно один раз. В точке $x=2$ график непрерывен (обе формулы дают $1,5$).

3. При $x>3\text{:}$ $y=x-6$ — луч возрастающей прямой без концевой точки: при $x\to 3^{+}$ значение стремится к $-3\text{,}$ значит значения этого куска — $y>-3\text{,}$ каждое ровно один раз. В точке $x=3$ график имеет разрыв: слева значение $-1,5\text{,}$ справа значения близки к $-3\text{.}$

Число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Подсчитаем, сколько корней даёт каждый кусок при данном $m\text{:}$

• кусок 1 даёт корень $x=\frac{m+3,5}{2,5}\text{,}$ и условие $x<2$ равносильно $m<1,5\text{;}$
• кусок 2 даёт корень $x=\frac{7,5-m}{3}\text{,}$ и условие $2⩽x⩽3$ равносильно $-1,5⩽m⩽1,5\text{;}$
• кусок 3 даёт корень $x=m+6\text{,}$ и условие $x>3$ равносильно $m>-3\text{.}$

Разберём случаи:

• $m>1,5\text{:}$ только кусок 3 — 1 точка;
• $m=1,5\text{:}$ куски 2 и 3 — 2 точки;
• $-1,5⩽m<1,5\text{:}$ все три куска — 3 точки;
• $-3<m<-1,5\text{:}$ куски 1 и 3 — 2 точки;
• $m=-3\text{:}$ только кусок 1 — 1 точка;
• $m<-3\text{:}$ только кусок 1 — 1 точка.

Ровно две общие точки получаются при $m=1,5$ и при $-3<m<-1,5\text{.}$

Ответ: $m=1,5\text{;}$ $-3<m<-1,5\text{.}$