Задача №19540

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}x-2,5,& x<2,\\ -x+1,5,& 2⩽x⩽3,\\ x-5,& x>3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Строим график по кускам.

Каждый кусок — часть прямой.

• При $x<2\text{:}$ $y=x-2,5$ — луч (без концевой точки), возрастает. При $x\to 2^{-}$ имеем $y\to -0,5\text{,}$ значит выколотая точка $(2;-0,5)\text{,}$ а множество значений на этом куске — $y<-0,5\text{.}$
• При $2⩽x⩽3\text{:}$ $y=-x+1,5$ — отрезок с концами $(2;-0,5)$ и $(3;-1,5)$ (обе точки принадлежат графику), убывает; множество значений — $-1,5⩽y⩽-0,5\text{.}$
• При $x>3\text{:}$ $y=x-5$ — луч (без концевой точки), возрастает. При $x\to 3^{+}$ имеем $y\to -2\text{,}$ значит выколотая точка $(3;-2)\text{,}$ а множество значений — $y>-2\text{.}$

Обратим внимание: в точке $x=2$ куски стыкуются (обе дают $y=-0,5$), а в точке $x=3$ график имеет разрыв: отрезок заканчивается в $(3;-1,5)\text{,}$ а луч начинается (выколото) от $(3;-2)\text{.}$

2. Считаем число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Горизонтальная прямая $y=m$ пересекает:

• первый луч ровно один раз $⟺m<-0,5\text{;}$
• отрезок ровно один раз $⟺-1,5⩽m⩽-0,5\text{;}$
• второй луч ровно один раз $⟺m>-2\text{.}$

Перебираем промежутки:

• $m>-0,5$ — только второй луч: 1 точка;
• $m=-0,5$ — отрезок (в $x=2$) и второй луч (в $x=4,5$): 2 точки;
• $-1,5⩽m<-0,5$ — все три куска: 3 точки;
• $-2<m<-1,5$ — первый луч и второй луч: 2 точки;
• $m=-2$ — только первый луч (на втором точка $(3;-2)$ выколота): 1 точка;
• $m<-2$ — только первый луч: 1 точка.

3. Проверка граничных случаев.

При $m=-0,5\text{:}$ $x-2,5=-0,5\Rightarrow x=2$ — не подходит ($x<2$); $-x+1,5=-0,5\Rightarrow x=2$ — подходит; $x-5=-0,5\Rightarrow x=4,5$ — подходит. Ровно две точки.

При $m=-1,5\text{:}$ $x=1\text{,}$ $x=3$ и $x=3,5$ — три точки, поэтому $m=-1,5$ не годится.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-0,5$ и при $-2<m<-1,5\text{.}$

Ответ: $m=-0,5\text{;}$ $-2<m<-1,5\text{.}$