Постройте график функции y=cases x-2,5, & x<2, -x+1,5, & 2 x 3, x-5, & x>3. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Строим график по кускам. Каждый кусок — часть прямой. При x<2: y=x-2,5 — луч (без концевой точки), возрастает. При x 2^- имеем y -0,5, значит выколотая точка (2;-0,5), а множество значений на этом куске — y<-0,5. При 2 x 3: y=-x+1,5 — отрезок с концами (2;-0,5) и (3;-1,5) (обе точки принадлежат графику), убывает; множество значений — -1,5 y -0,5. При x>3: y=x-5 — луч (без концевой точки), возрастает. При x 3^+ имеем y -2, значит выколотая точка (3;-2), а множество значений — y>-2. Обратим внимание: в точке x=2 куски стыкуются (обе дают y=-0,5), а в точке x=3 график имеет разрыв: отрезок заканчивается в (3;-1,5), а луч начинается (выколото) от (3;-2). Считаем число общих точек с прямой y=m. Горизонтальная прямая y=m пересекает: первый луч ровно один раз m<-0,5; отрезок ровно один раз -1,5 m -0,5; второй луч ровно один раз m>-2. Перебираем промежутки: m>-0,5 — только второй луч: 1 точка; m=-0,5 — отрезок (в x=2) и второй луч (в x=4,5): 2 точки; -1,5 m<-0,5 — все три куска: 3 точки; -2<m<-1,5 — первый луч и второй луч: 2 точки; m=-2 — только первый луч (на втором точка (3;-2) выколота): 1 точка; m<-2 — только первый луч: 1 точка. Проверка граничных случаев. При m=-0,5: x-2,5=-0,5=> x=2 — не подходит (x<2); -x+1,5=-0,5=> x=2 — подходит; x-5=-0,5=> x=4,5 — подходит. Ровно две точки. При m=-1,5: x=1, x=3 и x=3,5 — три точки, поэтому m=-1,5 не годится. Ровно две общие точки прямая y=m имеет при m=-0,5 и при -2<m<-1,5. Ответ: m=-0,5; -2<m<-1,5.

m = -0,5; -2 < m < -1,5