Постройте график функции y=cases x^2-8x+14, & x 3, x-2, & x<3. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор по кускам графика. Ветвь 1 (парабола), x 3: y=x^2-8x+14. Абсцисса вершины x_0=(8)/(2)=4, вершина (4;-2) — минимум. Крайняя точка ветви при x=3: y=9-24+14=-1, точка (3;-1) входит в график. При x=5 снова y=-1. Итак, при x 3 функция убывает от -1 (в x=3) до -2 (в x=4), затем неограниченно возрастает. Ветвь 2 (прямая), x<3: y=x-2 строго возрастает; при x 3^- значение y 1 (точка (3;1) выколота), вниз уходит до -inf. Значит эта ветвь принимает все значения y<1. Сколько точек даёт каждая ветвь при пересечении с y=m. Прямая y=x-2 (x<3) даёт ровно одну точку при m<1 и ни одной при m 1. Парабола при x 3: m<-2 — 0 точек (ниже минимума); m=-2 — 1 точка (вершина x=4); -2<m -1 — 2 точки (обе на участке xin[3;5], например m=-1 даёт x=3 и x=5); m>-1 — 1 точка (только на возрастающем участке x>5; убывающий участок [3;4] значения выше -1 не даёт). Складываем и ищем ровно 2 общие точки. | m | парабола | прямая | всего | |---|---|---|---| | m<-2 | 0 | 1 | 1 | | m=-2 | 1 | 1 | 2 | | -2<m -1 | 2 | 1 | 3 | | -1<m<1 | 1 | 1 | 2 | | m 1 | 1 | 0 | 1 | Ровно две общие точки прямая y=m имеет с графиком при m=-2 и при -1<m<1. Ответ: m=-2; -1<m<1.

m = -2 и -1 < m < 1