Задача №19533

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-8x+14,& x⩾3,\\ x-2,& x<3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор по кускам графика.

Ветвь 1 (парабола), $x⩾3\text{:}$ $y=x^2-8x+14\text{.}$ Абсцисса вершины $x_0=\frac{8}{2}=4\text{,}$ вершина $(4;-2)$ — минимум. Крайняя точка ветви при $x=3\text{:}$ $y=9-24+14=-1\text{,}$ точка $(3;-1)$ входит в график. При $x=5$ снова $y=-1\text{.}$ Итак, при $x⩾3$ функция убывает от $-1$ (в $x=3$) до $-2$ (в $x=4$), затем неограниченно возрастает.

Ветвь 2 (прямая), $x<3\text{:}$ $y=x-2$ строго возрастает; при $x\to 3^{-}$ значение $y\to 1$ (точка $(3;1)$ выколота), вниз уходит до $-\infty \text{.}$ Значит эта ветвь принимает все значения $y<1\text{.}$

Сколько точек даёт каждая ветвь при пересечении с $y=m\text{.}$

Прямая $y=x-2$ ($x<3$) даёт ровно одну точку при $m<1$ и ни одной при $m⩾1\text{.}$

Парабола при $x⩾3\text{:}$

• $m<-2$ — $0$ точек (ниже минимума);
• $m=-2$ — $1$ точка (вершина $x=4$);
• $-2<m⩽-1$ — $2$ точки (обе на участке $x\in [3;5]\text{,}$ например $m=-1$ даёт $x=3$ и $x=5$);
• $m>-1$ — $1$ точка (только на возрастающем участке $x>5\text{;}$ убывающий участок $[3;4]$ значения выше $-1$ не даёт).

Складываем и ищем ровно $2$ общие точки.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком при $m=-2$ и при $-1<m<1\text{.}$

Ответ: $m=-2\text{;}$ $-1<m<1\text{.}$