Задача №19525

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{lll}\begin{array}{l}2x-2\\ -3x+13\\ 1,5x-7\end{array}& \begin{array}{l}\text{при}\\ \text{при}\\ \text{при}\end{array}& \begin{array}{l}x<3,\\ 3⩽x⩽4,\\ x>4.\end{array}\end{array}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. График состоит из трёх кусков прямых.

1) При $x<3\text{:}$ $y=2x-2$ — луч возрастающей прямой без концевой точки. При $x\to 3^{-}$ значение $y\to 2\cdot 3-2=4\text{,}$ точка $(3;4)$ выколота. Множество значений этого куска: $(-\infty ;4)\text{.}$

2) При $3⩽x⩽4\text{:}$ $y=-3x+13$ — отрезок с концами $(3;-3\cdot 3+13)=(3;4)$ и $(4;-3\cdot 4+13)=(4;1)\text{,}$ оба конца включены. Функция убывает, множество значений: $[1;4]\text{.}$

3) При $x>4\text{:}$ $y=1,5x-7$ — луч возрастающей прямой без концевой точки. При $x\to 4^{+}$ значение $y\to 1,5\cdot 4-7=-1\text{,}$ точка $(4;-1)$ выколота. Множество значений: $(-1;+\infty )\text{.}$

В точке $x=3$ график непрерывен (оба куска дают $y=4$), в точке $x=4$ — разрыв: значение $y=1$ (отрезок), а правый луч «стартует» от выколотой точки $y=-1\text{.}$

Число общих точек с прямой $y=m\text{.}$ Каждый кусок монотонен, поэтому даёт не более одной общей точки, и даёт ровно одну тогда и только тогда, когда $m$ лежит в множестве его значений:

• первый кусок: одна точка при $m<4\text{;}$
• второй кусок: одна точка при $1⩽m⩽4\text{;}$
• третий кусок: одна точка при $m>-1\text{.}$

Сложим по промежуткам:

• $m⩽-1\text{:}$ только первый кусок — 1 точка;
• $-1<m<1\text{:}$ первый и третий — 2 точки;
• $1⩽m<4\text{:}$ все три — 3 точки;
• $m=4\text{:}$ первый не даёт (там $y<4$ строго), второй даёт $x=3\text{,}$ третий даёт $1,5x-7=4\Rightarrow x=\frac{22}{3}>4$ — 2 точки;
• $m>4\text{:}$ только третий — 1 точка.

Проверка граничных случаев: при $m=-1$ уравнение $1,5x-7=-1$ даёт $x=4\text{,}$ что не входит в $x>4\text{,}$ значит третий кусок точки не даёт, всего 1 точка. При $m=1$ второй кусок даёт $x=4\text{,}$ а третий — $1,5x-7=1\Rightarrow x=\frac{16}{3}>4\text{,}$ вместе с первым получаем 3 точки.

Ровно две общие точки — при $-1<m<1$ и при $m=4\text{.}$

Ответ: $-1<m<1\text{;}$ $m=4\text{.}$