Задача №19512

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=CO\text{.}$

Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF\text{:}$

1. $AO=CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма);
2. $\angle AOE=\angle COF$ как вертикальные углы (точки $E\text{,}$ $O\text{,}$ $F$ лежат на одной прямой);
3. $\angle OAE=\angle OCF$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$ (в параллелограмме $AB\parallel CD$).

Значит, $△AOE=△COF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: $AE=CF\text{.}$

Ответ: что и требовалось доказать — $AE=CF\text{.}$