Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 32, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями BC и AD, BC = 8, AD = 32, BD = 16. Доказать: CBD BDA. Шаг 1. Равенство углов. По определению трапеции её основания параллельны: BC AD. Диагональ BD — секущая при этих параллельных прямых, поэтому углы CBD и BDA — накрест лежащие, а значит равны: CBD = BDA. Это углы треугольников CBD и BDA при вершинах B и D соответственно. Шаг 2. Пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам. К углу CBD в треугольнике CBD прилежат стороны BC и BD; к углу BDA в треугольнике BDA прилежат стороны DB и DA. Найдём отношения: (BC)/(DB) = (8)/(16) = (1)/(2), (BD)/(DA) = (16)/(32) = (1)/(2). Следовательно, (BC)/(DB) = (BD)/(DA) = (1)/(2). Шаг 3. Вывод. В треугольниках CBD и BDA две пары сторон пропорциональны, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) CBD BDA с коэффициентом подобия k = (1)/(2) (соответствие вершин C B, B D, D A). Ответ: доказано: CBD BDA по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство