Задача №19503

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 8 и 32, $BD=16\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Дано: $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD\text{,}$ $BC=8\text{,}$ $AD=32\text{,}$ $BD=16\text{.}$

Доказать: $△CBD\sim △BDA\text{.}$

Шаг 1. Равенство углов.

По определению трапеции её основания параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Диагональ $BD$ — секущая при этих параллельных прямых, поэтому углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ — накрест лежащие, а значит равны:

Это углы треугольников $CBD$ и $BDA$ при вершинах $B$ и $D$ соответственно.

Шаг 2. Пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам.

К углу $\angle CBD$ в треугольнике $CBD$ прилежат стороны $BC$ и $BD\text{;}$ к углу $\angle BDA$ в треугольнике $BDA$ прилежат стороны $DB$ и $DA\text{.}$ Найдём отношения:

Следовательно,

Шаг 3. Вывод.

В треугольниках $CBD$ и $BDA$ две пары сторон пропорциональны, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$ (соответствие вершин $C\leftrightarrow B\text{,}$ $B\leftrightarrow D\text{,}$ $D\leftrightarrow A$).

Ответ: доказано: $△CBD\sim △BDA$ по двум сторонам и углу между ними.