Задача №19497

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O\text{.}$ Угол $ACB$ равен $78^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $AOD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB\text{,}$ не содержащую точку $C\text{.}$ Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного:

$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot 78^{\circ }=156^{\circ }.$$

Точки $B\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой, так как $BD$ — диаметр. Значит, углы $AOB$ и $AOD$ — смежные:

$$\angle AOD=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-156^{\circ }=24^{\circ }.$$

Проверка другим способом: треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB=OC$ — радиусы), а $\angle OCB=\angle ACB=78^{\circ }$ (луч $CO$ лежит на диаметре $CA$), поэтому $\angle BOC=180^{\circ }-2\cdot 78^{\circ }=24^{\circ }\text{,}$ и $\angle AOD=\angle BOC=24^{\circ }$ как вертикальные — сходится.

Ответ: $24\text{.}$