Задача №19488

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O\text{.}$ Угол $ACB$ равен $19^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $AOD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB\text{,}$ поэтому центральный угол $AOB\text{,}$ опирающийся на ту же дугу, вдвое больше:

$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot 19^{\circ }=38^{\circ }.$$

Точки $B\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой (это диаметр $BD$), значит углы $AOB$ и $AOD$ — смежные:

$$\angle AOD=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-38^{\circ }=142^{\circ }.$$

Проверка другим способом. Треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB=OC=R$), поэтому $\angle OBC=\angle OCB=19^{\circ }$ и $\angle BOC=180^{\circ }-2\cdot 19^{\circ }=142^{\circ }\text{.}$ Углы $BOC$ и $AOD$ вертикальные, значит $\angle AOD=142^{\circ }\text{.}$

Ответ: $142\text{.}$