Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от прямых, содержащих его стороны (и обратно). Точка K лежит на биссектрисе угла A. Стороны угла DAB лежат на прямых AB и AD. Точка K принадлежит биссектрисе этого угла, значит (K, AB) = (K, AD), где (K,) — расстояние от точки K до прямой (длина перпендикуляра, опущенного из K на ). Точка K лежит на биссектрисе угла B. Стороны угла ABC лежат на прямых AB и BC. Так как K принадлежит биссектрисе угла B, то (K, AB) = (K, BC). Объединяем равенства. Из пунктов 1 и 2 получаем (K, AD) = (K, AB) = (K, BC), то есть все три расстояния от точки K до прямых AB, BC и AD равны между собой. Замечание: условие, что точка K пересечения биссектрис лежит на стороне CD, гарантирует, что K — внутренняя точка четырёхугольника (точка внутри углов A и B), поэтому перпендикуляры из K опускаются корректно и свойство биссектрисы применимо. Ответ: точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD, что и требовалось доказать. Более того, K — центр окружности, касающейся всех трёх прямых. Доказательство: K лежит на биссектрисах углов A и B, поэтому равноудалена от AB и AD и от AB и BC, значит все три расстояния равны.

Доказательство