Задача №19486

Биссектрисы углов $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ лежащей на стороне $CD\text{.}$ Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $AD\text{.}$

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от прямых, содержащих его стороны (и обратно).

1. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A\text{.}$

Стороны угла $DAB$ лежат на прямых $AB$ и $AD\text{.}$ Точка $K$ принадлежит биссектрисе этого угла, значит

где $\rho (K,\ell )$ — расстояние от точки $K$ до прямой $\ell$ (длина перпендикуляра, опущенного из $K$ на $\ell$).

2. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B\text{.}$

Стороны угла $ABC$ лежат на прямых $AB$ и $BC\text{.}$ Так как $K$ принадлежит биссектрисе угла $B\text{,}$ то

3. Объединяем равенства.

Из пунктов 1 и 2 получаем

то есть все три расстояния от точки $K$ до прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $AD$ равны между собой.

Замечание: условие, что точка $K$ пересечения биссектрис лежит на стороне $CD\text{,}$ гарантирует, что $K$ — внутренняя точка четырёхугольника (точка внутри углов $A$ и $B$), поэтому перпендикуляры из $K$ опускаются корректно и свойство биссектрисы применимо.

Ответ: точка $K$ равноудалена от прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $AD\text{,}$ что и требовалось доказать. Более того, $K$ — центр окружности, касающейся всех трёх прямых.

Доказательство: K лежит на биссектрисах углов A и B, поэтому равноудалена от AB и AD и от AB и BC, значит все три расстояния равны.